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二、填空题
7. 化简：$\frac{1}{\sqrt{2}} =$.
7. 化简：$\frac{1}{\sqrt{2}} =$.
答案
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
8. 某校选拔$14$名学生参加校篮球队，测量其心率的统计结果如下表所示：
则这组数据的下四分位数为.
则这组数据的下四分位数为.
答案
68
解析
共有14个数据，下四分位数即第25百分位数。位置为14×25%=3.5，向上取整为第4个数据。将数据按从小到大排列：60,60,68,68,68,70,70,70,70,73,73,73,73,80，第4个数据是68。
9. 如图，$A$，$B$两地被建筑物阻隔，为测量$A$，$B$两地的距离，先在$AB$外选定一点$C$，通过测量得到$CA$，$CB$的中点分别是$D$，$E$，且$DE = 36\ \mathrm{m}$，则$A$，$B$两点间的距离是m.
答案
72
解析
∵D，E分别是CA，CB的中点，∴DE是△ABC的中位线。根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得AB=2DE。∵DE=36m，∴AB=2×36=72m。
10. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法. 如图，直线$y = 2x - 1$与直线$y = kx + b(k ≠ 0)$相交于点$P(2, 3)$. 根据图象可知，方程组$\begin{cases}y = 2x - 1, \\ y = kx + b\end{cases}$的解为 ______ .
答案
$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$
解析
因为直线$y = 2x - 1$与直线$y = kx + b$相交于点$P(2, 3)$，所以方程组$\begin{cases}y = 2x - 1 \\ y = kx + b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}$。
11. 如图①，华容道是我国一种古老的民间益智游戏. 一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有$5$个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有$4$个纵向摆放，$1$个横向摆放，把其他棋子拿掉后，这$5$个小矩形木块排列示意图如图②所示. 若图②中阴影部分的面积为$40$，则一个小矩形木块的对角线的长为.
答案
10
解析
设小矩形的长为$x$，宽为$y$。由题意，大矩形面积为$5xy + 40$。观察图形，大矩形的长为$x + 2y$，宽为$x + y$，则大矩形面积为$(x + 2y)(x + y)$。因此有$(x + 2y)(x + y) = 5xy + 40$，展开得$x^2 + 3xy + 2y^2 = 5xy + 40$，化简为$x^2 - 2xy + 2y^2 = 40$。由图形排列知$x = 2y$（长是宽的2倍），代入得$(2y)^2 - 2(2y)y + 2y^2 = 40$，即$4y^2 - 4y^2 + 2y^2 = 40$，解得$y^2 = 20$。小矩形对角线长为$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(2y)^2 + y^2} = \sqrt{5y^2} = \sqrt{5×20} = 10$。
12. 提升题 如图，正方形$ABCD$的边长为$2$，$E$为$CD$边的中点，$P$为射线$BE$上一点（点$P$不与点$B$重合）. 若$△ PDC$为直角三角形，则$BP =$.
答案
√5-1，√5+1，2√5
解析
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，各点坐标：B(0,0)，C(2,0)，D(2,2)，E(2,1)。射线BE方程：y=(1/2)x，设P(t, t/2)(t＞0)。
情况1：∠D=90°（PD⊥CD）：CD为竖直线x=2，PD水平则P纵坐标=D纵坐标=2，即t/2=2，t=4。BP=√(4²+2²)=2√5。
情况2：∠P=90°（PC⊥PD）：PC²=(t-2)²+(t/2)²，PD²=(t-2)²+(t/2-2)²，CD²=4。由PC²+PD²=CD²得5t²/2-10t+8=0，解得t=2±2√5/5。BP=√(t²+(t/2)²)=t√5/2，代入得BP=√5±1。
综上，BP=√5-1或√5+1或2√5。
情况1：∠D=90°（PD⊥CD）：CD为竖直线x=2，PD水平则P纵坐标=D纵坐标=2，即t/2=2，t=4。BP=√(4²+2²)=2√5。
情况2：∠P=90°（PC⊥PD）：PC²=(t-2)²+(t/2)²，PD²=(t-2)²+(t/2-2)²，CD²=4。由PC²+PD²=CD²得5t²/2-10t+8=0，解得t=2±2√5/5。BP=√(t²+(t/2)²)=t√5/2，代入得BP=√5±1。
综上，BP=√5-1或√5+1或2√5。
三、解答题
13. （1）计算：$\sqrt{(-1)^{2}} + (-\sqrt{2})^{2} - \sqrt{25}$.
（2）如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$是对角线$BC$上两点，且$∠ AFC = ∠ DEB$. 求证$△ ACF ≌ △ DBE$.
13. （1）计算：$\sqrt{(-1)^{2}} + (-\sqrt{2})^{2} - \sqrt{25}$.
（2）如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$是对角线$BC$上两点，且$∠ AFC = ∠ DEB$. 求证$△ ACF ≌ △ DBE$.
答案
（1）解：原式$=\sqrt{1} + 2 - 5 = 1 + 2 - 5 = -2$
（2）证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AC=BD$，$AC// BD$，
∴$∠ACF=∠DBE$，
在$△ACF$和$△DBE$中，
$\{\begin{array}{l}∠AFC=∠DEB\\∠ACF=∠DBE\\AC=BD\end{array} $，
∴$△ACF≌△DBE(AAS)$
（2）证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AC=BD$，$AC// BD$，
∴$∠ACF=∠DBE$，
在$△ACF$和$△DBE$中，
$\{\begin{array}{l}∠AFC=∠DEB\\∠ACF=∠DBE\\AC=BD\end{array} $，
∴$△ACF≌△DBE(AAS)$
