1. 如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,若CD= 8,则CE的长为( )
A.2
B.4
C.8
D.16
A.2
B.4
C.8
D.16
答案
B
解析
解：
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，
∴CE=DE（垂径定理）。
∵CD=8，
∴CE=CD/2=8/2=4。
答案：B
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，
∴CE=DE（垂径定理）。
∵CD=8，
∴CE=CD/2=8/2=4。
答案：B
2. 下列说法中,正确的是( )
A.直径是圆的对称轴
B.经过圆心的直线是圆的对称轴
C.半径是圆的对称轴
D.与半径垂直的直线是圆的对称轴
A.直径是圆的对称轴
B.经过圆心的直线是圆的对称轴
C.半径是圆的对称轴
D.与半径垂直的直线是圆的对称轴
答案
B
3. 如图,已知⊙O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论中不一定正确的是( )
A.CE= DE
B.AE= OE
C.$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{BD}$
D.△OCE≌△ODE
A.CE= DE
B.AE= OE
C.$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{BD}$
D.△OCE≌△ODE
答案
B
解析
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，
∴CE=DE，$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{BD}$，
∵OC=OD，OE=OE，
∴△OCE≌△ODE（SAS），
AE=OE不一定成立。
B
4. 如图,在⊙O中,半径OC⊥AB于点D.已知OB= 5,OD= 4,则弦AB的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
D
解析
解：
∵OC⊥AB，
∴AD=BD，∠ODB=90°。
在Rt△ODB中，OB=5，OD=4，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∴AB=2BD=6。
答案：D
∵OC⊥AB，
∴AD=BD，∠ODB=90°。
在Rt△ODB中，OB=5，OD=4，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∴AB=2BD=6。
答案：D
5. 如图,AB,AC都是⊙O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为点M,N,如果$MN= \sqrt{3}$,那么BC= ( )
A.3
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
A.3
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
C
解析
证明：
∵ $OM \perp AB$，$ON \perp AC$，
∴ $M$ 为 $AB$ 中点，$N$ 为 $AC$ 中点（垂径定理）。
∴ $MN$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线。
∴ $BC = 2MN$。
∵ $MN = \sqrt{3}$，
∴ $BC = 2\sqrt{3}$。
C
∵ $OM \perp AB$，$ON \perp AC$，
∴ $M$ 为 $AB$ 中点，$N$ 为 $AC$ 中点（垂径定理）。
∴ $MN$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线。
∴ $BC = 2MN$。
∵ $MN = \sqrt{3}$，
∴ $BC = 2\sqrt{3}$。
C
6. 如图,在以AB为直径的半圆中,有一个边长为1的内接正方形CDEF,则AB= ______.
答案
$\sqrt{5}$
解析
解：连接OD。
设OC = x，
∵CDEF是正方形，边长为1，
∴OF = x，CD = 1，OD为半圆半径，OE = OD。
在Rt△OCD中，OD² = OC² + CD² = x² + 1² = x² + 1。
又
∵AB为直径，O为圆心，
∴AB = 2OD，且CF = 2x = 1（正方形边长），得x = $\frac{1}{2}$。
∴OD² = ($\frac{1}{2}$)² + 1 = $\frac{1}{4}$ + 1 = $\frac{5}{4}$，OD = $\frac{\sqrt{5}}{2}$。
∴AB = 2OD = $\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
设OC = x，
∵CDEF是正方形，边长为1，
∴OF = x，CD = 1，OD为半圆半径，OE = OD。
在Rt△OCD中，OD² = OC² + CD² = x² + 1² = x² + 1。
又
∵AB为直径，O为圆心，
∴AB = 2OD，且CF = 2x = 1（正方形边长），得x = $\frac{1}{2}$。
∴OD² = ($\frac{1}{2}$)² + 1 = $\frac{1}{4}$ + 1 = $\frac{5}{4}$，OD = $\frac{\sqrt{5}}{2}$。
∴AB = 2OD = $\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆,如图2,已知圆心O在水面上方,且⊙O被水面截得的弦AB长为4米,⊙O的半径为2.5米.若C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是______米.
答案
1
解析
解：过点O作OD⊥AB于点D，延长OD交⊙O于点C，连接OA。
∵OD⊥AB，AB=4米，
∴AD=BD=2米。
在Rt△OAD中，OA=2.5米，AD=2米，
由勾股定理得：OD=$\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{2.5^2 - 2^2}=\sqrt{6.25 - 4}=\sqrt{2.25}=1.5$米。
∵OC=OA=2.5米，
∴CD=OC - OD=2.5 - 1.5=1米。
1
∵OD⊥AB，AB=4米，
∴AD=BD=2米。
在Rt△OAD中，OA=2.5米，AD=2米，
由勾股定理得：OD=$\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{2.5^2 - 2^2}=\sqrt{6.25 - 4}=\sqrt{2.25}=1.5$米。
∵OC=OA=2.5米，
∴CD=OC - OD=2.5 - 1.5=1米。
1
8. 如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE= 1,AB= 6,则⊙O的半径为______.
答案
5
解析
解：设⊙O的半径为$r$，则$OE = r - CE = r - 1$。
∵CD为直径，AB⊥CD，AB=6，
∴AE = $\frac{1}{2}$AB = 3。
在Rt△AOE中，由勾股定理得：$AE^2 + OE^2 = OA^2$，
即$3^2 + (r - 1)^2 = r^2$，
解得$r = 5$。
5
∵CD为直径，AB⊥CD，AB=6，
∴AE = $\frac{1}{2}$AB = 3。
在Rt△AOE中，由勾股定理得：$AE^2 + OE^2 = OA^2$，
即$3^2 + (r - 1)^2 = r^2$，
解得$r = 5$。
5
