19. （6分）计算：$cos 60°tan 60°+\frac{sin 30°}{cos 30°}-\sqrt{2}cos 45°.$

解:原式$=\frac{1}{2}×\sqrt{3}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}-\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$ =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
$ =\frac{5\sqrt{3}}{6}-1$

20. （8分）如图，点D在△ABC的边AC上，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长.

解：在​△ABD​和​△ACB​中
∵​∠ABD=∠C，​​∠A=∠A​
∴​△ABD∽△ACB​
∴$​\frac {AB}{AC}=\frac {AD}{AB}​$
∵​AB=6，​​AD= 4​
∴$​AC=\frac {AB²}{AD}=\frac {36}{4}=9​$
则​CD= AC- AD= 9- 4= 5​

21. （10分）如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10 m，坡面的倾斜角为45°. 为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°，若新坡面的左边需留3 m的人行道，则离原坡面10 m的建筑物是否需要拆除？（参考数据：$\sqrt{2}≈1.414，$$\sqrt{3}≈1.732）$

解：在​Rt△ABC​中
∵​BC = 10，​​∠CAB = 45°​
∴$​AB=\frac {10}{tan 45°}=10​$
在​Rt△DBC​中，​∠CDB=30°​
∴$​DB=\frac {10}{tan 30°}=10\sqrt{3}​$
则$​DA= DB- DA= 10\sqrt{3}- 10≈7.32​$
$​3+ DA\gt 10​$
答：离原坡面$​10\ \mathrm {m} ​$的建筑物需要拆除。