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12. 已知$□ ABCD$的面积是144 cm²，相邻两边上的高分别为8 cm和9 cm，则它的周长是.
答案
68 cm
解析
设平行四边形相邻两边的长分别为$x$ cm和$y$ cm。
根据平行四边形面积公式$S = 底×高$，可得：
$8x = 144$，解得$x = 18$；
$9y = 144$，解得$y = 16$。
平行四边形周长为$2(x + y) = 2×(18 + 16) = 68$（cm）。
根据平行四边形面积公式$S = 底×高$，可得：
$8x = 144$，解得$x = 18$；
$9y = 144$，解得$y = 16$。
平行四边形周长为$2(x + y) = 2×(18 + 16) = 68$（cm）。
13. 如图，在$□ ABCD$中，$BE$，$DF$分别平分$∠ ABC$，$∠ ADC$，交$AC$于点$E$，$F$. 已知$□ ABCD$的周长为48.
(1) 求证$BE=DF$.
(2) 过点$E$作$EM⊥ AB$，垂足为$M$，若$EM=6$，求$△ ACD$的面积.
(1) 求证$BE=DF$.
(2) 过点$E$作$EM⊥ AB$，垂足为$M$，若$EM=6$，求$△ ACD$的面积.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $∠ ADC = ∠ ABC$，$AD = BC$，$AD // BC$，
∴ $∠ DAF = ∠ BCE$.
∵ $BE$，$DF$分别平分$∠ ABC$，$∠ ADC$，
∴ $∠ ADF = \frac{1}{2}∠ ADC$，$∠ CBE = \frac{1}{2}∠ ABC$，
∴ $∠ ADF = ∠ CBE$.
在$△ ADF$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}∠ DAF = ∠ BCE \\AD = BC \\∠ ADF = ∠ CBE\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ CBE$（ASA），
∴ $BE = DF$.
(2) 解：
过点$E$作$EN ⊥ BC$于点$N$.
∵ $BE$平分$∠ ABC$，$EM ⊥ AB$，$EN ⊥ BC$，
∴ $EN = EM = 6$.
∵ $□ ABCD$的周长为48，
∴ $AB + BC = \frac{48}{2} = 24$.
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABE} + S_{△ CBE} = \frac{1}{2} × AB × EM + \frac{1}{2} × BC × EN$，
代入$EM=EN=6$，$AB+BC=24$得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × (AB + BC) × 6 = \frac{1}{2} × 24 × 6 = 72$.
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $S_{△ ACD} = S_{△ ABC} = 72$.
答：$△ ACD$的面积为72.
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $∠ ADC = ∠ ABC$，$AD = BC$，$AD // BC$，
∴ $∠ DAF = ∠ BCE$.
∵ $BE$，$DF$分别平分$∠ ABC$，$∠ ADC$，
∴ $∠ ADF = \frac{1}{2}∠ ADC$，$∠ CBE = \frac{1}{2}∠ ABC$，
∴ $∠ ADF = ∠ CBE$.
在$△ ADF$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}∠ DAF = ∠ BCE \\AD = BC \\∠ ADF = ∠ CBE\end{cases}$
∴ $△ ADF ≌ △ CBE$（ASA），
∴ $BE = DF$.
(2) 解：
过点$E$作$EN ⊥ BC$于点$N$.
∵ $BE$平分$∠ ABC$，$EM ⊥ AB$，$EN ⊥ BC$，
∴ $EN = EM = 6$.
∵ $□ ABCD$的周长为48，
∴ $AB + BC = \frac{48}{2} = 24$.
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABE} + S_{△ CBE} = \frac{1}{2} × AB × EM + \frac{1}{2} × BC × EN$，
代入$EM=EN=6$，$AB+BC=24$得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × (AB + BC) × 6 = \frac{1}{2} × 24 × 6 = 72$.
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $S_{△ ACD} = S_{△ ABC} = 72$.
答：$△ ACD$的面积为72.
14. 如图，平面直角坐标系中的网格由单位正方形构成. 在$△ ABC$中，点$A$的坐标为$(2,3)$，点$B$的坐标为$(-2,0)$，点$C$的坐标为$(0,-1)$.
(1) $AB$的长是，$∠ ACB$的度数是.
(2) 若以点$A$，$B$，$C$及点$D$为顶点的四边形为平行四边形，则点$D$的坐标为，写出所有情况并在图中画出其中一个平行四边形.
(1) $AB$的长是，$∠ ACB$的度数是.
(2) 若以点$A$，$B$，$C$及点$D$为顶点的四边形为平行四边形，则点$D$的坐标为，写出所有情况并在图中画出其中一个平行四边形.
答案
解：
(1) 根据勾股定理：
$AB=\sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - 0)^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$；
计算$BC=\sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - (-1))^2}=\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - (-1))^2}=2\sqrt{5}$，
因为$BC^2 + AC^2=(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2=25$，$AB^2=5^2=25$，
所以$BC^2 + AC^2=AB^2$，由勾股定理逆定理得$∠ ACB=90°$。
(2) 分三种情况：
① 以$AC$为对角线，设$D(x,y)$，由平行四边形对角线互相平分：
$\frac{2+0}{2}=\frac{-2+x}{2}$，$\frac{3+(-1)}{2}=\frac{0+y}{2}$，
解得$x=4$，$y=2$，即$D(4,2)$；
② 以$BC$为对角线，设$D(x,y)$：
$\frac{-2+0}{2}=\frac{2+x}{2}$，$\frac{0+(-1)}{2}=\frac{3+y}{2}$，
解得$x=-4$，$y=-4$，即$D(-4,-4)$；
③ 以$AB$为对角线，设$D(x,y)$：
$\frac{2+(-2)}{2}=\frac{0+x}{2}$，$\frac{3+0}{2}=\frac{-1+y}{2}$，
解得$x=0$，$y=4$，即$D(0,4)$。
综上，点$D$的坐标为$\boldsymbol{(4,2)}$，$\boldsymbol{(-4,-4)}$，$\boldsymbol{(0,4)}$。（画图略，可任选一种情况画出平行四边形）
(1) 根据勾股定理：
$AB=\sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - 0)^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$；
计算$BC=\sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - (-1))^2}=\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{(2 - 0)^2 + (3 - (-1))^2}=2\sqrt{5}$，
因为$BC^2 + AC^2=(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2=25$，$AB^2=5^2=25$，
所以$BC^2 + AC^2=AB^2$，由勾股定理逆定理得$∠ ACB=90°$。
(2) 分三种情况：
① 以$AC$为对角线，设$D(x,y)$，由平行四边形对角线互相平分：
$\frac{2+0}{2}=\frac{-2+x}{2}$，$\frac{3+(-1)}{2}=\frac{0+y}{2}$，
解得$x=4$，$y=2$，即$D(4,2)$；
② 以$BC$为对角线，设$D(x,y)$：
$\frac{-2+0}{2}=\frac{2+x}{2}$，$\frac{0+(-1)}{2}=\frac{3+y}{2}$，
解得$x=-4$，$y=-4$，即$D(-4,-4)$；
③ 以$AB$为对角线，设$D(x,y)$：
$\frac{2+(-2)}{2}=\frac{0+x}{2}$，$\frac{3+0}{2}=\frac{-1+y}{2}$，
解得$x=0$，$y=4$，即$D(0,4)$。
综上，点$D$的坐标为$\boldsymbol{(4,2)}$，$\boldsymbol{(-4,-4)}$，$\boldsymbol{(0,4)}$。（画图略，可任选一种情况画出平行四边形）
