例1 在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，当满足条件()时，四边形 $ABCD$ 是平行四边形。

A.$∠ A+∠ C = 180^{\circ}$
B.$∠ B+∠ D = 180^{\circ}$
C.$∠ A+∠ B = 180^{\circ}$
D.$∠ A+∠ D = 180^{\circ}$
【思路导析】已知 $AD// BC$，再证 $AB// CD$ 即可。
【请你解答】。

D

已知在四边形$ABCD$中$AD// BC$，若$∠A + ∠D = 180^{\circ}$，根据同旁内角互补，两直线平行，因为$AD$和$BC$是一组已平行的边，此时$AB$与$DC$是另一组对边，由$∠A + ∠D = 180^{\circ}$可得出$AB// CD$，两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
而选项A中$∠A + ∠C = 180^{\circ}$，不能得出$AB// CD$；选项B中$∠B + ∠D = 180^{\circ}$，也不能得出$AB// CD$；选项C中$∠A + ∠B = 180^{\circ}$，根据同旁内角互补，两直线平行，只能得出$AD// BC$，这是已知条件，不能得出$AB// CD$。

例2 若四边形 $ABCD$ 的边 $AB = CD$，$BC = DA$，则这个四边形是四边形，理由是。
【思路导析】利用平行四边形的判定进行解答。
【请你解答】，。

平行，两组对边分别相等的四边形是平行四边形

因为四边形ABCD的两组对边分别相等，即AB=CD，BC=DA，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，所以这个四边形是平行四边形。

例3 已知四边形的四个内角的比为 $2:3:2:3$，则这个四边形是四边形。
【思路导析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
【请你解答】。

平行

四边形的内角和为$360°$，设四边形的四个内角分别为$2x,3x,2x,3x$，则$2x + 3x + 2x + 3x = 360°$，解得$x = 36°$。
所以四个内角分别为$72°,108°,72°,108°$，两组对角分别相等，因此这个四边形是平行四边形。

例4 如图，在$□ ABCD$中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$E$，$F$ 分别是 $OA$，$OC$ 的中点。试说明四边形 $BEDF$ 是平行四边形。
【思路导析】四边形 $BEDF$ 中已有点 $O$ 平分 $BD$（对角线 $AC$，$BD$ 互相平分），只需再证明点 $O$ 也平分 $EF$ 即可。
【请你解答】

证明：
由于 $ABCD$ 是平行四边形，
所以 $OA = OC$，$OB = OD$（平行四边形对角线互相平分）。
又因为 $E, F$ 分别是 $OA, OC$ 的中点，
所以 $OE = \frac{1}{2}OA$，$OF = \frac{1}{2}OC$。
由于 $OA = OC$，
所以 $OE = OF$。
因为 $OB = OD$ 且 $OE = OF$，
所以四边形 $BEDF$ 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形)。

例5 顺次连接平面上 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点得到一个四边形，从①$AB// CD$，②$BC = AD$，③$∠ A=∠ C$，④$∠ B=∠ D$ 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形 $ABCD$ 是平行四边形”这一结论的情况共有()

A.$5$ 种
B.$4$ 种
C.$3$ 种
D.$1$ 种
【探究点拨】取①③时，四边形 $ABCD$ 为平行四边形；取①④时，四边形 $ABCD$ 为平行四边形；取③④时，四边形 $ABCD$ 为平行四边形。
【规范解答】选 $C$。

C

从四个条件中任取两个，共有6种组合：①②、①③、①④、②③、②④、③④。
①②：一组对边平行，另一组对边相等，可能为等腰梯形，不能判定平行四边形；
①③：AB//CD得∠A+∠D=180°，又∠A=∠C，故∠C+∠D=180°，则AD//BC，两组对边平行，是平行四边形；
①④：AB//CD得∠B+∠C=180°，又∠B=∠D，故∠D+∠C=180°，则AD//BC，两组对边平行，是平行四边形；
②③：一组对边相等，一组对角相等，不能判定平行四边形；
②④：一组对边相等，一组对角相等，不能判定平行四边形；
③④：两组对角分别相等，是平行四边形。
综上，①③、①④、③④共3种情况。