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1. 解方程组$$\begin{cases}3m - 4n = 7,①\\9m - 10n + 25 = 0,②\end{cases}$$的最好方法是( )。
A.由①，得$$m = \dfrac{7 + 4n}{3}$$，再代入②
B.由②，得$$m = \dfrac{10n - 25}{9}$$，再代入①
C.由①，得$$3m = 4n + 7$$，再代入②
D.由②，得$$9m = 10n - 25$$，再代入①
A.由①，得$$m = \dfrac{7 + 4n}{3}$$，再代入②
B.由②，得$$m = \dfrac{10n - 25}{9}$$，再代入①
C.由①，得$$3m = 4n + 7$$，再代入②
D.由②，得$$9m = 10n - 25$$，再代入①
答案
C
解析
观察方程组，方程①中$3m$的系数与方程②中$9m$的系数存在倍数关系（$9m = 3×3m$）。由①得$3m = 4n + 7$，将其整体代入②（$9m = 3×3m$），可直接消去$m$，计算更简便。A、B选项用含$n$的式子表示$m$再代入，计算相对复杂；D选项虽由②变形，但代入①不如C选项直接。
2. 已知$$\begin{cases}2x + 3y = 5,\\3x + 2y = 10,\end{cases}$$则$$x + y - 2026$$的值为 ______ 。
答案
$-2023$。
解析
$\begin{cases}2x + 3y = 5\quad(1),\\3x + 2y = 10\quad(2).\end{cases}$
将方程(1)和方程(2)相加，得到：
$2x + 3y+3x + 2y= 5+10$，
$5x + 5y = 15$，
从上式，可以得到：
$x + y = 3$，
将$x + y = 3$代入$x + y - 2026$，得到：
$x + y - 2026 = 3 - 2026 = -2023$。
所以$x + y - 2026$的值为$-2023$。
将方程(1)和方程(2)相加，得到：
$2x + 3y+3x + 2y= 5+10$，
$5x + 5y = 15$，
从上式，可以得到：
$x + y = 3$，
将$x + y = 3$代入$x + y - 2026$，得到：
$x + y - 2026 = 3 - 2026 = -2023$。
所以$x + y - 2026$的值为$-2023$。
3. 若$$\sqrt{3a - 2b - 6}$$与$$(17 - 2a - 3b)^2$$互为相反数，则$$a - b =$$。
答案
1
解析
因为√(3a - 2b - 6)与(17 - 2a - 3b)²互为相反数，所以√(3a - 2b - 6) + (17 - 2a - 3b)² = 0。由于算术平方根和平方数均为非负数，故可得方程组：
$\begin{cases}3a - 2b - 6 = 0 \\17 - 2a - 3b = 0\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}3a - 2b = 6 \quad ① \\2a + 3b = 17 \quad ②\end{cases}$
由①得：$3a = 2b + 6$，即$a = \frac{2b + 6}{3}$ ③。将③代入②：$2×\frac{2b + 6}{3} + 3b = 17$，两边乘3得$4b + 12 + 9b = 51$，解得$13b = 39$，$b = 3$。将$b = 3$代入③得$a = \frac{2×3 + 6}{3} = 4$。则$a - b = 4 - 3 = 1$。
$\begin{cases}3a - 2b - 6 = 0 \\17 - 2a - 3b = 0\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}3a - 2b = 6 \quad ① \\2a + 3b = 17 \quad ②\end{cases}$
由①得：$3a = 2b + 6$，即$a = \frac{2b + 6}{3}$ ③。将③代入②：$2×\frac{2b + 6}{3} + 3b = 17$，两边乘3得$4b + 12 + 9b = 51$，解得$13b = 39$，$b = 3$。将$b = 3$代入③得$a = \frac{2×3 + 6}{3} = 4$。则$a - b = 4 - 3 = 1$。
4. 某校数学组组织学生进行“数学素养大赛”活动，需购买甲、乙两种奖品。老师发现购买甲奖品 2 个和乙奖品 5 个，需用去 120 元；购买甲奖品 3 个和乙奖品 4 个，需用去 124 元。请用列二元一次方程组的方法，求甲、乙两种奖品的单价。
答案
设甲奖品的单价为 $x$ 元，乙奖品的单价为 $y$ 元。
根据题意，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}2x + 5y = 120, \, (1) \\3x + 4y = 124. \, (2)\end{cases}$
从方程(1)中，可以得到：
$2x = 120 - 5y$，
$x = 60 - \frac{5}{2}y \quad (3)$，
将方程(3)代入方程(2)中，得到：
$3(60 - \frac{5}{2}y) + 4y = 124$，
$180 - \frac{15}{2}y + 4y = 124$，
$-\frac{7}{2}y = -56$，
$y = 16$，
将 $y = 16$ 代入方程(3)中，得到：
$x = 60 - \frac{5}{2} × 16$，
$x = 60 - 40$，
$x = 20$，
答：甲奖品的单价为 20 元，乙奖品的单价为 16 元。
根据题意，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}2x + 5y = 120, \, (1) \\3x + 4y = 124. \, (2)\end{cases}$
从方程(1)中，可以得到：
$2x = 120 - 5y$，
$x = 60 - \frac{5}{2}y \quad (3)$，
将方程(3)代入方程(2)中，得到：
$3(60 - \frac{5}{2}y) + 4y = 124$，
$180 - \frac{15}{2}y + 4y = 124$，
$-\frac{7}{2}y = -56$，
$y = 16$，
将 $y = 16$ 代入方程(3)中，得到：
$x = 60 - \frac{5}{2} × 16$，
$x = 60 - 40$，
$x = 20$，
答：甲奖品的单价为 20 元，乙奖品的单价为 16 元。
知识点 1 用含一个未知数的式子表示另一个未知数
1. 用代入法解方程组$$\begin{cases}2x + 3y = 5,①\\3x + 4y = 2,②\end{cases}$$下列变形中不正确的是( )。
A.由②，得$x = \dfrac{2 - 4y}{3}$
B.由②，得$y = \dfrac{2 - 3x}{4}$
C.由①，得$x = \dfrac{5 + 3y}{2}$
D.由①，得$y = \dfrac{5 - 2x}{3}$
1. 用代入法解方程组$$\begin{cases}2x + 3y = 5,①\\3x + 4y = 2,②\end{cases}$$下列变形中不正确的是( )。
A.由②，得$x = \dfrac{2 - 4y}{3}$
B.由②，得$y = \dfrac{2 - 3x}{4}$
C.由①，得$x = \dfrac{5 + 3y}{2}$
D.由①，得$y = \dfrac{5 - 2x}{3}$
答案
C
解析
对于选项A：由方程$②$，即$3x + 4y = 2$，需要解出$x$，得$x = \dfrac{2 - 4y}{3}$，表述正确。
对于选项B：由方程$②$，即$3x + 4y = 2$，需要解出$y$，得$y = \dfrac{2 - 3x}{4}$，表述正确。
对于选项C：由方程$①$，即$2x + 3y = 5$，需要解出$x$，得$x = \dfrac{5 - 3y}{2}$，而不是$x = \dfrac{5 + 3y}{2}$，表述错误。
对于选项D：由方程$①$，即$2x + 3y = 5$，需要解出$y$，得$y = \dfrac{5 - 2x}{3}$，表述正确。
对于选项B：由方程$②$，即$3x + 4y = 2$，需要解出$y$，得$y = \dfrac{2 - 3x}{4}$，表述正确。
对于选项C：由方程$①$，即$2x + 3y = 5$，需要解出$x$，得$x = \dfrac{5 - 3y}{2}$，而不是$x = \dfrac{5 + 3y}{2}$，表述错误。
对于选项D：由方程$①$，即$2x + 3y = 5$，需要解出$y$，得$y = \dfrac{5 - 2x}{3}$，表述正确。
知识点 2 根据消元，选择变形
2. 用代入法解下列方程组：
2. 用代入法解下列方程组：
答案
(1)
由$2x - 3y = 7$，
移项得$2x=7 + 3y$，
系数化为$1$得$x=\frac{7 + 3y}{2}$。
把$x=\frac{7 + 3y}{2}$代入$6x + 5y = 35$，
可得$6×\frac{7+3y}{2}+5y = 35$，
即$3(7 + 3y)+5y = 35$，
$21+9y+5y = 35$，
$14y=35 - 21$，
$14y = 14$，
$y = 1$。
把$y = 1$代入$x=\frac{7 + 3y}{2}$，得$x=\frac{7+3×1}{2}=5$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = 1\end{cases}$
(2)
由$3x + 2y = 5$，
移项得$2y=5 - 3x$，
系数化为$1$得$y=\frac{5 - 3x}{2}$。
把$y=\frac{5 - 3x}{2}$代入$2x + 5y = 7$，
可得$2x+5×\frac{5 - 3x}{2}=7$，
等式两边同乘$2$得$4x+5(5 - 3x)=14$，
$4x+25-15x = 14$，
$-11x=14 - 25$，
$-11x=-11$，
$x = 1$。
把$x = 1$代入$y=\frac{5 - 3x}{2}$，得$y=\frac{5-3×1}{2}=1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$
由$2x - 3y = 7$，
移项得$2x=7 + 3y$，
系数化为$1$得$x=\frac{7 + 3y}{2}$。
把$x=\frac{7 + 3y}{2}$代入$6x + 5y = 35$，
可得$6×\frac{7+3y}{2}+5y = 35$，
即$3(7 + 3y)+5y = 35$，
$21+9y+5y = 35$，
$14y=35 - 21$，
$14y = 14$，
$y = 1$。
把$y = 1$代入$x=\frac{7 + 3y}{2}$，得$x=\frac{7+3×1}{2}=5$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = 1\end{cases}$
(2)
由$3x + 2y = 5$，
移项得$2y=5 - 3x$，
系数化为$1$得$y=\frac{5 - 3x}{2}$。
把$y=\frac{5 - 3x}{2}$代入$2x + 5y = 7$，
可得$2x+5×\frac{5 - 3x}{2}=7$，
等式两边同乘$2$得$4x+5(5 - 3x)=14$，
$4x+25-15x = 14$，
$-11x=14 - 25$，
$-11x=-11$，
$x = 1$。
把$x = 1$代入$y=\frac{5 - 3x}{2}$，得$y=\frac{5-3×1}{2}=1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$
