15. 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△OCD 中，∠ACB = ∠DCO = 90°，O 为 AB 的中点。
（1）求证：∠B = ∠ACD。
（2）已知点 E 在 AB 上，且 BC² = AB·BE。
①若 tan∠ACD = $\frac{3}{4}$，BC = 10，求 CE 的长；
②试判定 CD 与以 A 为圆心，AE 为半径的⊙A 的位置关系，并请说明理由。

15. (1)略 (2)①6 ②相切 理由略

【解析】
（1）证明：
∵∠ACB = ∠DCO = 90°，
∴∠ACB - ∠ACO = ∠DCO - ∠ACO，即∠ACD = ∠OCB。
∵O为AB的中点，Rt△ABC中，OC = OB，
∴∠B = ∠OCB，
∴∠B = ∠ACD。
（2）①解：
∵BC² = AB·BE，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BE}{BC}$，又∠B = ∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴∠CEB = ∠ACB = 90°。
由（1）知∠B = ∠ACD，
∴tan∠B = tan∠ACD = $\frac{3}{4}$。
在Rt△BCE中，设CE = 3k，BE = 4k，
由勾股定理得：$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$，
解得k = 2，
∴CE = 6。
②解：CD与⊙A相切，理由如下：
过点A作AF⊥CD于点F，
由BC² = AB·BE，结合AC² + BC² = AB²，得AC² = AB·AE，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AC}$，又∠A = ∠A，
∴△ACE∽△ABC，
∴∠ACE = ∠B。
由（1）知∠ACD = ∠B，
∴∠ACE = ∠ACD，即AC平分∠DCE。
∵CE⊥AB，AF⊥CD，
∴AF = AE。
∵AF是⊙A的半径且AF⊥CD，
∴CD与⊙A相切。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）①$\boldsymbol{6}$；②$\boldsymbol{相切}$，理由见上述解析。
【知识点】
1. 直角三角形性质
2. 相似三角形判定与性质
3. 圆的位置关系判定
【点评】
本题综合考查直角三角形性质、相似三角形的判定与性质以及圆与直线的位置关系判定，需灵活运用角的等量转换、相似模型及角平分线性质解题，综合性较强。
【难度系数】
0.6

16. 如图，直线 AB 与⊙O 相切于点 A，弦 CD//AB，E，F 为圆上的两点，且∠CDE = ∠ADF。若⊙O 的半径为 $\frac{5}{2}$，CD = 4，则弦 EF 的长为。

16. $ 2 \sqrt { 5 } $

【解析】
连接OA并延长交CD于点H，连接OC、AD。
1. 由直线AB与⊙O相切于点A，得OA⊥AB；又CD//AB，故OA⊥CD，根据垂径定理，CH=DH=CD/2=2。
2. 在Rt△OCH中，OC为⊙O半径$\frac{5}{2}$，CH=2，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OC^2 - CH^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 2^2}=\frac{3}{2}$。
3. 计算AH：$AH=OA + OH=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=4$，在Rt△AHD中，DH=2，AH=4，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AH^2 + DH^2}=\sqrt{4^2 + 2^2}=2\sqrt{5}$。
4. 因为∠CDE=∠ADF，所以弧EF=弧AD，根据弧与弦的关系，得EF=AD=$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
切线的性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题综合运用切线性质、垂径定理、勾股定理及弧弦关系求解，需通过构造辅助线将切线与平行弦的条件转化为垂直关系，进而利用直角三角形计算线段长度，再结合圆周角相等得到弧弦相等，考查综合运用几何定理的能力。
【难度系数】
0.4