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【例2】某班有 $ 50 $ 名学生，一次考试的成绩（单位：分）分布情况如下表：
（1）将表中“组中值”一栏填写完整；
（2）求该班本次考试的平均成绩.
解：
【规律方法】
利用组中值求加权平均数
（1）对数据分组，明确每组的范围，计算各组的组中值；
（2）把各组的频数看作权；
（3）按照加权平均数的计算方法计算出结果.
（1）将表中“组中值”一栏填写完整；
（2）求该班本次考试的平均成绩.
解：
【规律方法】
利用组中值求加权平均数
（1）对数据分组，明确每组的范围，计算各组的组中值；
（2）把各组的频数看作权；
（3）按照加权平均数的计算方法计算出结果.
答案
解:(1)54.5 64.5 74.5 84.5 94.5
(2)该班本次考试的平均成绩为77.3分.
(2)该班本次考试的平均成绩为77.3分.
解析
【解析】
（1）组中值为每组区间两端点数值的平均数，计算得：
$\frac{49.5+59.5}{2}=54.5$，$\frac{59.5+69.5}{2}=64.5$，$\frac{69.5+79.5}{2}=74.5$，$\frac{79.5+89.5}{2}=84.5$，$\frac{89.5+99.5}{2}=94.5$；
（2）根据加权平均数公式计算平均成绩：
$\overline{x}=\frac{54.5×4 + 64.5×8 + 74.5×14 + 84.5×18 + 94.5×6}{50}$
$=\frac{218+516+1043+1521+567}{50}$
$=\frac{3865}{50}=77.3$（分）
【答案】
（1）54.5、64.5、74.5、84.5、94.5
（2）77.3分
【知识点】
组中值计算，加权平均数
【点评】
本题考查利用组中值求加权平均数，需掌握组中值计算方法与加权平均数公式，通过频数为权重估算平均成绩，是统计中常用方法。
【难度系数】
0.6
（1）组中值为每组区间两端点数值的平均数，计算得：
$\frac{49.5+59.5}{2}=54.5$，$\frac{59.5+69.5}{2}=64.5$，$\frac{69.5+79.5}{2}=74.5$，$\frac{79.5+89.5}{2}=84.5$，$\frac{89.5+99.5}{2}=94.5$；
（2）根据加权平均数公式计算平均成绩：
$\overline{x}=\frac{54.5×4 + 64.5×8 + 74.5×14 + 84.5×18 + 94.5×6}{50}$
$=\frac{218+516+1043+1521+567}{50}$
$=\frac{3865}{50}=77.3$（分）
【答案】
（1）54.5、64.5、74.5、84.5、94.5
（2）77.3分
【知识点】
组中值计算，加权平均数
【点评】
本题考查利用组中值求加权平均数，需掌握组中值计算方法与加权平均数公式，通过频数为权重估算平均成绩，是统计中常用方法。
【难度系数】
0.6
变式训练
2. 某小区为了了解居民的用电情况，对上个月的用电量进行了统计（如下表），请计算出该小区居民上个月平均每户的用电量.
2. 某小区为了了解居民的用电情况，对上个月的用电量进行了统计（如下表），请计算出该小区居民上个月平均每户的用电量.
答案
2. 解:该小区居民上个月平均每户的用电量为130kW·h.
解析
【解析】
本题需利用组中值计算加权平均数，步骤如下：
1. 确定各用电量区间的组中值：
$ 50≤ x＜100 $ 的组中值为 $ \frac{50+100}{2}=75 \, (\mathrm{kW·h}) $
$ 100≤ x＜150 $ 的组中值为 $ \frac{100+150}{2}=125 \, (\mathrm{kW·h}) $
$ 150≤ x＜200 $ 的组中值为 $ \frac{150+200}{2}=175 \, (\mathrm{kW·h}) $
$ 200≤ x＜250 $ 的组中值为 $ \frac{200+250}{2}=225 \, (\mathrm{kW·h}) $
2. 计算加权平均数：
$\begin{aligned}\mathrm{平均每户用电量}&=\frac{75×30 + 125×40 + 175×20 + 225×10}{30+40+20+10}\\&=\frac{2250 + 5000 + 3500 + 2250}{100}\\&=\frac{13000}{100}\\&=130 \, (\mathrm{kW·h})\end{aligned}$
【答案】
130kW·h
【知识点】
加权平均数、组中值的应用
【点评】
本题考查加权平均数在实际统计中的应用，当数据为分组区间时，需用组中值代表每组数据计算平均值，掌握加权平均数的计算方法是关键。
【难度系数】
0.7
本题需利用组中值计算加权平均数，步骤如下：
1. 确定各用电量区间的组中值：
$ 50≤ x＜100 $ 的组中值为 $ \frac{50+100}{2}=75 \, (\mathrm{kW·h}) $
$ 100≤ x＜150 $ 的组中值为 $ \frac{100+150}{2}=125 \, (\mathrm{kW·h}) $
$ 150≤ x＜200 $ 的组中值为 $ \frac{150+200}{2}=175 \, (\mathrm{kW·h}) $
$ 200≤ x＜250 $ 的组中值为 $ \frac{200+250}{2}=225 \, (\mathrm{kW·h}) $
2. 计算加权平均数：
$\begin{aligned}\mathrm{平均每户用电量}&=\frac{75×30 + 125×40 + 175×20 + 225×10}{30+40+20+10}\\&=\frac{2250 + 5000 + 3500 + 2250}{100}\\&=\frac{13000}{100}\\&=130 \, (\mathrm{kW·h})\end{aligned}$
【答案】
130kW·h
【知识点】
加权平均数、组中值的应用
【点评】
本题考查加权平均数在实际统计中的应用，当数据为分组区间时，需用组中值代表每组数据计算平均值，掌握加权平均数的计算方法是关键。
【难度系数】
0.7
【例3】为了解学生身体素质状况，某校对全校 $ 1200 $ 名学生进行立定跳远水平测试，并随机抽取 $ 50 $ 名学生的测试成绩（单位：m）绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图
请根据图表中提供的信息，完成下列问题：
（1）求出 $ a $，$ b $ 的值.
（2）把频数分布直方图补充完整.
（3）估计该学校学生立定跳远成绩在 $ 2.4 ∼ 2.8 $ m（不含 $ 2.8 $ m）范围内的有多少人.
（4）估计该学校所有学生立定跳远的平均成绩.
解：
【规律方法】
用样本平均数估计总体平均数的“应用”
（1）适用条件：用样本估计总体是统计的一个重要方法，在总体信息不明确或总体的平均数较难求时，可考虑用总体的一个样本平均数去估计总体平均数.
（2）注意问题：计算加权平均数时要分清数据和数据的权.
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图
请根据图表中提供的信息，完成下列问题：
（1）求出 $ a $，$ b $ 的值.
（2）把频数分布直方图补充完整.
（3）估计该学校学生立定跳远成绩在 $ 2.4 ∼ 2.8 $ m（不含 $ 2.8 $ m）范围内的有多少人.
（4）估计该学校所有学生立定跳远的平均成绩.
解：
【规律方法】
用样本平均数估计总体平均数的“应用”
（1）适用条件：用样本估计总体是统计的一个重要方法，在总体信息不明确或总体的平均数较难求时，可考虑用总体的一个样本平均数去估计总体平均数.
（2）注意问题：计算加权平均数时要分清数据和数据的权.
答案
（1）a=8，b=20；（2）见解析；（3）240人；（4）2.056m。
解析
（1）由频数分布直方图可知，1.2≤x＜1.6的频数a=8。
因为总频数为50，所以a+12+b+10=50，即8+12+b+10=50，解得b=20。
（2）补全直方图：在成绩2.0≤x＜2.8区间中，2.0≤x＜2.4对应的频数为20，画出高度为20的矩形。
（3）样本中2.4≤x＜2.8的频数为10，频率为10/50=0.2，估计全校该范围人数为1200×0.2=240人。
（4）各组组中值分别为1.4、1.8、2.2、2.6，加权平均数为(1.4×8+1.8×12+2.2×20+2.6×10)/50=(11.2+21.6+44+26)/50=102.8/50=2.056m，估计总体平均成绩为2.056m。
因为总频数为50，所以a+12+b+10=50，即8+12+b+10=50，解得b=20。
（2）补全直方图：在成绩2.0≤x＜2.8区间中，2.0≤x＜2.4对应的频数为20，画出高度为20的矩形。
（3）样本中2.4≤x＜2.8的频数为10，频率为10/50=0.2，估计全校该范围人数为1200×0.2=240人。
（4）各组组中值分别为1.4、1.8、2.2、2.6，加权平均数为(1.4×8+1.8×12+2.2×20+2.6×10)/50=(11.2+21.6+44+26)/50=102.8/50=2.056m，估计总体平均成绩为2.056m。
