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2. 填空题:
(1) 有四组数:①$\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=2;\end{array} $②$\{\begin{array}{l} x=0,\\ y=-3;\end{array} $③$\{\begin{array}{l} x=\frac {1}{2},\\ y=-2;\end{array} $④$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=-1.\end{array} $其中, ______ 是方程$2x-y=3$的解, ______ 是方程$3x+2y=1$的解, ______ 是方程组$\{\begin{array}{l} 2x-y=3,\\ 3x+2y=1\end{array} $的解(填写序号).
(2) 已知$\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-2\end{array} $是方程组$\{\begin{array}{l} 2x-y=m,\\ x+ny=-3\end{array} $的解,则$m=$ ______ ,n= ______ .
(3) 如图,两架天平保持平衡,且每块巧克力的质量相等,每个果冻的质量也相等. 设一块巧克力的质量是 x g,一个果冻的质量是 y g,可列方程组:.
(1) 有四组数:①$\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=2;\end{array} $②$\{\begin{array}{l} x=0,\\ y=-3;\end{array} $③$\{\begin{array}{l} x=\frac {1}{2},\\ y=-2;\end{array} $④$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=-1.\end{array} $其中, ______ 是方程$2x-y=3$的解, ______ 是方程$3x+2y=1$的解, ______ 是方程组$\{\begin{array}{l} 2x-y=3,\\ 3x+2y=1\end{array} $的解(填写序号).
(2) 已知$\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-2\end{array} $是方程组$\{\begin{array}{l} 2x-y=m,\\ x+ny=-3\end{array} $的解,则$m=$ ______ ,n= ______ .
(3) 如图,两架天平保持平衡,且每块巧克力的质量相等,每个果冻的质量也相等. 设一块巧克力的质量是 x g,一个果冻的质量是 y g,可列方程组:.
答案
(1) ②③④；①④；④
(2) 8；3
(3)$\begin{cases}3x = 2y \\ x + y = 50\end{cases}$
(2) 8；3
(3)$\begin{cases}3x = 2y \\ x + y = 50\end{cases}$
解析
(1) 对于方程$2x - y = 3$，分别代入四组值：
①：$2×(-1) - 2 = -4 ≠ 3$，不是解；
②：$2×0 - (-3) = 3$，是解；
③：$2×\frac{1}{2} - (-2) = 3$，是解；
④：$2×1 - (-1) = 3$，是解。
对于方程$3x + 2y = 1$，分别代入四组值：
①：$3×(-1) + 2×2 = 1$，是解；
②：$3×0 + 2×(-3) = -6 ≠ 1$，不是解；
③：$3×\frac{1}{2} + 2×(-2) = -\frac{5}{2} ≠ 1$，不是解；
④：$3×1 + 2×(-1) = 1$，是解。
方程组的解需同时满足两个方程，④同时满足，故答案依次为②③④；①④；④。
(2) 将$\begin{cases}x = 3 \\ y = -2\end{cases}$代入$2x - y = m$，得$m = 2×3 - (-2) = 8$；代入$x + ny = -3$，得$3 + n×(-2) = -3$，解得$n = 3$。
(3) 由左天平：3块巧克力质量 = 2个果冻质量，即$3x = 2y$；由右天平：1块巧克力质量 + 1个果冻质量 = 50g，即$x + y = 50$。故方程组为$\begin{cases}3x = 2y \\ x + y = 50\end{cases}$。
①：$2×(-1) - 2 = -4 ≠ 3$，不是解；
②：$2×0 - (-3) = 3$，是解；
③：$2×\frac{1}{2} - (-2) = 3$，是解；
④：$2×1 - (-1) = 3$，是解。
对于方程$3x + 2y = 1$，分别代入四组值：
①：$3×(-1) + 2×2 = 1$，是解；
②：$3×0 + 2×(-3) = -6 ≠ 1$，不是解；
③：$3×\frac{1}{2} + 2×(-2) = -\frac{5}{2} ≠ 1$，不是解；
④：$3×1 + 2×(-1) = 1$，是解。
方程组的解需同时满足两个方程，④同时满足，故答案依次为②③④；①④；④。
(2) 将$\begin{cases}x = 3 \\ y = -2\end{cases}$代入$2x - y = m$，得$m = 2×3 - (-2) = 8$；代入$x + ny = -3$，得$3 + n×(-2) = -3$，解得$n = 3$。
(3) 由左天平：3块巧克力质量 = 2个果冻质量，即$3x = 2y$；由右天平：1块巧克力质量 + 1个果冻质量 = 50g，即$x + y = 50$。故方程组为$\begin{cases}3x = 2y \\ x + y = 50\end{cases}$。
3. 根据题意列方程组:
(1) 刘刚买了两种不同的贺卡共 8 张,单价分别是 1 元和 2 元,共用去 10 元. 刘刚两种贺卡各买了多少张? 设刘刚买了单价是 1 元的贺卡 x 张,单价是 2 元的贺卡 y 张.
(2) 某班有学生 45 人,其中男生人数比女生的 2 倍少 9 人,该班的男生、女生各有多少人?设该班的男生有 x 人,女生有 y 人.
(3) 某市规定:出租车起步价允许行驶的最远路程为 3 km,超过 3 km 的部分按每千米另收费. 甲说:“我乘出租车行驶了 11 km,付了 17 元.”乙说:“我乘出租车行驶了 23 km,付了 35 元.”出租车的起步价是多少元? 超过 3 km 后每千米收费多少元? 设出租车的起步价是 x 元,超过 3 km 后每千米收费 y 元.
(1) 刘刚买了两种不同的贺卡共 8 张,单价分别是 1 元和 2 元,共用去 10 元. 刘刚两种贺卡各买了多少张? 设刘刚买了单价是 1 元的贺卡 x 张,单价是 2 元的贺卡 y 张.
(2) 某班有学生 45 人,其中男生人数比女生的 2 倍少 9 人,该班的男生、女生各有多少人?设该班的男生有 x 人,女生有 y 人.
(3) 某市规定:出租车起步价允许行驶的最远路程为 3 km,超过 3 km 的部分按每千米另收费. 甲说:“我乘出租车行驶了 11 km,付了 17 元.”乙说:“我乘出租车行驶了 23 km,付了 35 元.”出租车的起步价是多少元? 超过 3 km 后每千米收费多少元? 设出租车的起步价是 x 元,超过 3 km 后每千米收费 y 元.
答案
(1) 根据题意，两种贺卡共8张，可得$x + y = 8$；共用去10元，可得$x + 2y = 10$，故方程组为$\begin{cases}x + y = 8 \\ x + 2y = 10\end{cases}$。
(2) 班级总人数45人，即$x + y = 45$；男生人数比女生的2倍少9人，可得$x = 2y - 9$，故方程组为$\begin{cases}x + y = 45 \\ x = 2y - 9\end{cases}$。
(3) 甲行驶11km，前3km为起步价x元，超过的$11 - 3 = 8$km收费8y元，共17元，即$x + 8y = 17$；乙行驶23km，超过的$23 - 3 = 20$km收费20y元，共35元，即$x + 20y = 35$，故方程组为$\begin{cases}x + 8y = 17 \\ x + 20y = 35\end{cases}$。
(2) 班级总人数45人，即$x + y = 45$；男生人数比女生的2倍少9人，可得$x = 2y - 9$，故方程组为$\begin{cases}x + y = 45 \\ x = 2y - 9\end{cases}$。
(3) 甲行驶11km，前3km为起步价x元，超过的$11 - 3 = 8$km收费8y元，共17元，即$x + 8y = 17$；乙行驶23km，超过的$23 - 3 = 20$km收费20y元，共35元，即$x + 20y = 35$，故方程组为$\begin{cases}x + 8y = 17 \\ x + 20y = 35\end{cases}$。
解析
【分析】
本题是根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是从每个问题中找出两个独立的等量关系，再结合设出的未知数列出方程组。
(1) 对于贺卡问题，第一个等量关系是两种贺卡的总张数为8张，即单价1元的贺卡张数加单价2元的贺卡张数等于8；第二个等量关系是买两种贺卡的总费用为10元，即1元贺卡的总费用加2元贺卡的总费用等于10元。
(2) 对于班级男女生人数问题，第一个等量关系是班级总人数为45人，即男生人数加女生人数等于45；第二个等量关系是男生人数与女生人数的倍数关系，男生人数比女生的2倍少9人，即男生人数等于女生人数的2倍减9。
(3) 对于出租车收费问题，第一个等量关系是甲的乘车总费用，起步价加超过3km部分的费用等于17元；第二个等量关系是乙的乘车总费用，起步价加超过3km部分的费用等于35元，其中超过3km的路程是行驶总路程减去3km，费用为超过的路程乘以每千米收费。
【解析】
(1) 已知买了单价1元的贺卡$x$张，单价2元的贺卡$y$张：
根据两种贺卡共8张，可得方程：$x + y = 8$；
根据买两种贺卡共用去10元，可得方程：$x + 2y = 10$；
因此方程组为$\begin{cases}x + y = 8 \\ x + 2y = 10\end{cases}$。
(2) 已知该班男生有$x$人，女生有$y$人：
根据班级总人数为45人，可得方程：$x + y = 45$；
根据男生人数比女生的2倍少9人，可得方程：$x = 2y - 9$；
因此方程组为$\begin{cases}x + y = 45 \\ x = 2y - 9\end{cases}$。
(3) 已知出租车起步价是$x$元，超过3km后每千米收费$y$元：
甲行驶11km，超过3km的路程为$11 - 3 = 8$km，总费用17元，可得方程：$x + 8y = 17$；
乙行驶23km，超过3km的路程为$23 - 3 = 20$km，总费用35元，可得方程：$x + 20y = 35$；
因此方程组为$\begin{cases}x + 8y = 17 \\ x + 20y = 35\end{cases}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x + y = 8 \\ x + 2y = 10\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + y = 45 \\ x = 2y - 9\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x + 8y = 17 \\ x + 20y = 35\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用；等量关系分析
【点评】
本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，解题的核心是准确找出每个问题中的两个等量关系。通过这类题目，能锻炼学生从实际情境中提取数学信息、建立数学模型的能力，是二元一次方程组应用的基础题型，需熟练掌握找等量关系的方法。
【难度系数】
0.8
本题是根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是从每个问题中找出两个独立的等量关系，再结合设出的未知数列出方程组。
(1) 对于贺卡问题，第一个等量关系是两种贺卡的总张数为8张，即单价1元的贺卡张数加单价2元的贺卡张数等于8；第二个等量关系是买两种贺卡的总费用为10元，即1元贺卡的总费用加2元贺卡的总费用等于10元。
(2) 对于班级男女生人数问题，第一个等量关系是班级总人数为45人，即男生人数加女生人数等于45；第二个等量关系是男生人数与女生人数的倍数关系，男生人数比女生的2倍少9人，即男生人数等于女生人数的2倍减9。
(3) 对于出租车收费问题，第一个等量关系是甲的乘车总费用，起步价加超过3km部分的费用等于17元；第二个等量关系是乙的乘车总费用，起步价加超过3km部分的费用等于35元，其中超过3km的路程是行驶总路程减去3km，费用为超过的路程乘以每千米收费。
【解析】
(1) 已知买了单价1元的贺卡$x$张，单价2元的贺卡$y$张：
根据两种贺卡共8张，可得方程：$x + y = 8$；
根据买两种贺卡共用去10元，可得方程：$x + 2y = 10$；
因此方程组为$\begin{cases}x + y = 8 \\ x + 2y = 10\end{cases}$。
(2) 已知该班男生有$x$人，女生有$y$人：
根据班级总人数为45人，可得方程：$x + y = 45$；
根据男生人数比女生的2倍少9人，可得方程：$x = 2y - 9$；
因此方程组为$\begin{cases}x + y = 45 \\ x = 2y - 9\end{cases}$。
(3) 已知出租车起步价是$x$元，超过3km后每千米收费$y$元：
甲行驶11km，超过3km的路程为$11 - 3 = 8$km，总费用17元，可得方程：$x + 8y = 17$；
乙行驶23km，超过3km的路程为$23 - 3 = 20$km，总费用35元，可得方程：$x + 20y = 35$；
因此方程组为$\begin{cases}x + 8y = 17 \\ x + 20y = 35\end{cases}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x + y = 8 \\ x + 2y = 10\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + y = 45 \\ x = 2y - 9\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x + 8y = 17 \\ x + 20y = 35\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用；等量关系分析
【点评】
本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，解题的核心是准确找出每个问题中的两个等量关系。通过这类题目，能锻炼学生从实际情境中提取数学信息、建立数学模型的能力，是二元一次方程组应用的基础题型，需熟练掌握找等量关系的方法。
【难度系数】
0.8
