三、一次函数与选择方案

假设题目：某单位要印刷一批宣传资料，需要甲印刷厂和乙印刷厂来完成，甲印刷厂提出：每份材料收 1 元印刷费，另收 1000 元制版费，乙印刷厂提出：每份材料收 1.5 元印刷费，不收制版费．（1）设该单位要印刷$x$份宣传资料，在甲印刷厂的实际费用为$y_1$元，在乙印刷厂的实际费用为$y_2$元，请分别写出$y_1$，$y_2$与$x$之间的函数表达式；（2）根据印刷数量，如何选择印刷厂家比较合算？
（1）
根据题意，甲印刷厂每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费，所以甲印刷厂的实际费用函数为：
$y_1 = x + 1000$。
乙印刷厂每份材料收1.5元印刷费，不收制版费，所以乙印刷厂的实际费用函数为：
$y_2 = 1.5x$。
（2）
为了找出哪个印刷厂更合算，需要比较$y_1$和$y_2$的大小。
当$y_1 ＞ y_2$时，即$x + 1000 ＞ 1.5x$，
移项并化简得：$0.5x ＜ 1000$，
解得：$x ＜ 2000$。
当$y_1 = y_2$时，即$x + 1000 = 1.5x$，
移项并化简得：$0.5x = 1000$，
解得：$x = 2000$。
当$y_1 ＜ y_2$时，即$x + 1000 ＜ 1.5x$，
移项并化简得：$0.5x ＞ 1000$，
解得：$x ＞ 2000$。
综上所述：
当印刷数量$x ＜ 2000$份时，选择乙印刷厂比较合算；
当印刷数量$x = 2000$份时，两家印刷厂的实际费用相同；
当印刷数量$x ＞ 2000$份时，选择甲印刷厂比较合算。

例 3 为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出 $ A $ 型和 $ B $ 型两款垃圾分拣机器人，已知 $ 1 $ 台 $ A $ 型机器人每小时分拣垃圾 $ 0.4 $ 吨，$ 1 $ 台 $ B $ 型机器人每小时分拣垃圾 $ 0.2 $ 吨。
(1) 某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批 $ A $ 型和 $ B $ 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾 $ 20 $ 吨。设购买 $ A $ 型机器人 $ a $ 台 $ (10 ≤ a ≤ 45) $，$ B $ 型机器人 $ b $ 台，请用含 $ a $ 的代数式表示 $ b $；
(2) 机器人公司的报价如表：

在 (1) 的条件下，设购买总费用为 $ w $ 万元，如何购买使得总费用 $ w $ 最少？请说明理由。
【思路导析】(1) 根据这批机器人每小时一共能分拣垃圾 $ 20 $ 吨列出等式；
(2) $ w = A $ 型机器人的费用 $ + B $ 型机器人的费用，三种情况分别得到总费用的最小值，比较后得到总费用最少的购买方案。
【规范解答】(1) $ 0.4a + 0.2b = 20 $，
解得 $ b = 100 - 2a(10 ≤ a ≤ 45) $。
(2) ① 当 $ 10 ≤ a ＜ 30 $ 时，$ 40 ＜ b ≤ 80 $。
$ \begin{aligned} w &= 20a + 0.8 × 12(100 - 2a) \\ &= 0.8a + 960. \end{aligned} $
$ \because 0.8 ＞ 0 $，$ \therefore w $ 随 $ a $ 的增大而增大。
$ \therefore $ 当 $ a = 10 $ 时，$ w $ 有最小值，$ w_{\mathrm{最小}} = 968 $；
② 当 $ 30 ≤ a ≤ 35 $ 时，$ 30 ≤ b ≤ 40 $。
$ \begin{aligned} w &= 20a × 0.9 + 0.8 × 12(100 - 2a) \\ &= -1.2a + 960. \end{aligned} $
$ \because -1.2 ＜ 0 $，$ \therefore w $ 随 $ a $ 的增大而减小。
$ \therefore $ 当 $ a = 35 $ 时，$ w $ 有最小值，$ w_{\mathrm{最小}} = 918 $；
③ 当 $ 35 ＜ a ≤ 45 $ 时，$ 10 ≤ b ＜ 30 $。
$ \begin{aligned} w &= 0.9 × 20a + 12(100 - 2a) \\ &= -6a + 1200. \end{aligned} $
$ \because -6 ＜ 0 $，$ \therefore w $ 随 $ a $ 的增大而减小。
$ \therefore $ 当 $ a = 45 $ 时，$ w $ 有最小值，$ w_{\mathrm{最小}} = 930 $。
$ \because 918 ＜ 930 ＜ 968 $，
$ \therefore $ 购买 $ A $ 型机器人 $ 35 $ 台，$ B $ 型机器人 $ 30 $ 台时，总费用 $ w $ 最少。

(1)由题意得：$0.4a + 0.2b = 20$，
解得$b = 100 - 2a(10 ≤ a ≤ 45)$。
(2)分三种情况讨论：
①当$10 ≤ a ＜ 30$时，$b = 100 - 2a ＞ 40$，
$w = 20a + 0.8 × 12(100 - 2a) = 0.8a + 960$，
$\because 0.8 ＞ 0$，$w$随$a$增大而增大，
$\therefore a = 10$时，$w_{\mathrm{最小}} = 0.8 × 10 + 960 = 968$；
②当$30 ≤ a ≤ 35$时，$30 ≤ b ≤ 40$，
$w = 0.9 × 20a + 0.8 × 12(100 - 2a) = -1.2a + 960$，
$\because -1.2 ＜ 0$，$w$随$a$增大而减小，
$\therefore a = 35$时，$w_{\mathrm{最小}} = -1.2 × 35 + 960 = 918$；
③当$35 ＜ a ≤ 45$时，$10 ≤ b ＜ 30$，
$w = 0.9 × 20a + 12(100 - 2a) = -6a + 1200$，
$\because -6 ＜ 0$，$w$随$a$增大而减小，
$\therefore a = 45$时，$w_{\mathrm{最小}} = -6 × 45 + 1200 = 930$。
$\because 918 ＜ 930 ＜ 968$，
$\therefore$购买$A$型机器人$35$台，$B$型机器人$30$台时，总费用$w$最少。