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一、选择题
1. 如图，E 是四边形 ABCD 的边 BC 延长线上的一点，且 AB//CD。下列条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是()
A. ∠D = ∠5
B. ∠B = ∠D
C. ∠1 = ∠2
D. ∠3 = ∠4
1. 如图，E 是四边形 ABCD 的边 BC 延长线上的一点，且 AB//CD。下列条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是()
A. ∠D = ∠5
B. ∠B = ∠D
C. ∠1 = ∠2
D. ∠3 = ∠4
答案
C
解析
已知AB//CD，要判定四边形ABCD是平行四边形，需满足另一组对边平行或一组对边平行且相等或两组对角分别相等。
选项A：∠D=∠5，因AB//CD，∠5=∠B（同位角），故∠D=∠B，结合AB//CD，可得∠A=∠BCD（同旁内角互补），两组对角相等，可判定平行四边形。
选项B：∠B=∠D，AB//CD得∠B+∠BCD=180°，∠D+∠A=180°，故∠A=∠BCD，两组对角相等，可判定平行四边形。
选项C：∠1=∠2，AB//CD时∠1与∠2为内错角（如∠BAC=∠ACD），是AB//CD的性质，无法推出AD//BC或AB=CD，不能判定。
选项D：∠3=∠4，若∠3=∠CAD，∠4=∠ACB，则AD//BC（内错角相等），结合AB//CD，可判定平行四边形。
选项A：∠D=∠5，因AB//CD，∠5=∠B（同位角），故∠D=∠B，结合AB//CD，可得∠A=∠BCD（同旁内角互补），两组对角相等，可判定平行四边形。
选项B：∠B=∠D，AB//CD得∠B+∠BCD=180°，∠D+∠A=180°，故∠A=∠BCD，两组对角相等，可判定平行四边形。
选项C：∠1=∠2，AB//CD时∠1与∠2为内错角（如∠BAC=∠ACD），是AB//CD的性质，无法推出AD//BC或AB=CD，不能判定。
选项D：∠3=∠4，若∠3=∠CAD，∠4=∠ACB，则AD//BC（内错角相等），结合AB//CD，可判定平行四边形。
2. 如图，在 □ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F。若 AE = 2，AF = 3，且 □ABCD 的周长为 20，则 □ABCD 的面积为()
A.4
B.6
C.12
D.24
A.4
B.6
C.12
D.24
答案
C
解析
设BC = x，CD = y。
∵□ABCD的周长为20，∴2(x + y) = 20，即x + y = 10。
∵AE⊥BC，AF⊥CD，AE = 2，AF = 3，
∴S□ABCD = BC·AE = CD·AF，即2x = 3y。
联立方程组：$\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x = 3y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 6 \\ y = 4\end{cases}$。
∴S□ABCD = 2x = 12。
∵□ABCD的周长为20，∴2(x + y) = 20，即x + y = 10。
∵AE⊥BC，AF⊥CD，AE = 2，AF = 3，
∴S□ABCD = BC·AE = CD·AF，即2x = 3y。
联立方程组：$\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x = 3y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 6 \\ y = 4\end{cases}$。
∴S□ABCD = 2x = 12。
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 4，D 是斜边 AB 上的一点，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E，过点 E 作 EF//AB，交 BC 于点 F。设 CF = x，AD = y，则 y 关于 x 的函数关系式为()
A.y = 4 - x
B.y = 4 - 2x
C.y = 2 - x
D.y = 2 - 2x
A.y = 4 - x
B.y = 4 - 2x
C.y = 2 - x
D.y = 2 - 2x
答案
B
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，∴BC=AB/2=2，AC=√(AB²-BC²)=2√3。
∵EF//AB，∴△CEF∽△CAB，相似比为CF/CB=x/2。
∴CE=CA·(CF/CB)=2√3·(x/2)=x√3，故AE=AC-CE=2√3 - x√3=√3(2 - x)。
在Rt△ADE中，∠A=30°，cos∠A=AE/AD，即√3/2=AE/y，∴y=AE/(√3/2)=2AE/√3。
将AE=√3(2 - x)代入，得y=2·√3(2 - x)/√3=4 - 2x。
∵EF//AB，∴△CEF∽△CAB，相似比为CF/CB=x/2。
∴CE=CA·(CF/CB)=2√3·(x/2)=x√3，故AE=AC-CE=2√3 - x√3=√3(2 - x)。
在Rt△ADE中，∠A=30°，cos∠A=AE/AD，即√3/2=AE/y，∴y=AE/(√3/2)=2AE/√3。
将AE=√3(2 - x)代入，得y=2·√3(2 - x)/√3=4 - 2x。
二、填空题
4. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = DC，AB//DC，E 为 BC 的中点，连接 AE，AC。若四边形 ABCD 的面积为 20，则 △AEC 的面积为。
4. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = DC，AB//DC，E 为 BC 的中点，连接 AE，AC。若四边形 ABCD 的面积为 20，则 △AEC 的面积为。
答案
∵AB=DC，AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC=S△ADC=$\frac{1}{2}$S四边形ABCD=$\frac{1}{2}$×20=10，
∵E为BC的中点，
∴AE是△ABC的中线，
∴S△AEC=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×10=5。
5
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC=S△ADC=$\frac{1}{2}$S四边形ABCD=$\frac{1}{2}$×20=10，
∵E为BC的中点，
∴AE是△ABC的中线，
∴S△AEC=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×10=5。
5
5. 如图，在 □ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，AB⊥AC，∠DAC = 45°，AC = 2，则 BD 的长是。
答案
2√5
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC/2=1，OB=OD=BD/2。
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°。
∵AD//BC，∠DAC=45°，∴∠ACB=∠DAC=45°（内错角相等）。
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，∴AB=AC=2（等腰直角三角形两直角边相等）。
在Rt△ABO中，AB=2，AO=1，由勾股定理得：BO=√(AB²+AO²)=√(2²+1²)=√5。
∴BD=2BO=2√5。
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°。
∵AD//BC，∠DAC=45°，∴∠ACB=∠DAC=45°（内错角相等）。
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，∴AB=AC=2（等腰直角三角形两直角边相等）。
在Rt△ABO中，AB=2，AO=1，由勾股定理得：BO=√(AB²+AO²)=√(2²+1²)=√5。
∴BD=2BO=2√5。
6. 如图，在四边形 ABCD 中，P 是 BC 边上一点，∠A = ∠B = 90°，E 为 AB 的中点，连接 DP，EP。若 FG 为 △DPE 的中位线，AB = AD = 4，则 FG =。
答案
√5
解析
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系。则A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)。E为AB中点，E(2,0)。DE为D(0,4)与E(2,0)的连线，由两点距离公式得DE=√[(2-0)²+(0-4)²]=√20=2√5。FG是△DPE的中位线，根据中位线定理，FG=1/2 DE=√5。
三、解答题
7. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD⊥CD，AB = 6 cm，BC = 10 cm。点 E 从点 D 出发沿 DA 方向以 2 cm/s 的速度匀速运动，到点 A 时停止运动，连接 EO 并延长，交 BC 于点 F。设运动时间为 t s，当 t 为何值时，四边形 EDCF 是平行四边形？并说明理由。
7. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD⊥CD，AB = 6 cm，BC = 10 cm。点 E 从点 D 出发沿 DA 方向以 2 cm/s 的速度匀速运动，到点 A 时停止运动，连接 EO 并延长，交 BC 于点 F。设运动时间为 t s，当 t 为何值时，四边形 EDCF 是平行四边形？并说明理由。
答案
当t=2.5时，四边形EDCF是平行四边形。理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=10cm，AD//BC，AO=OC。
∵AD//BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO。
在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF。
∵点E运动速度为2cm/s，运动时间为t s，∴DE=2t cm，AE=AD-DE=10-2t cm，∴CF=AE=10-2t cm。
要使四边形EDCF是平行四边形，∵ED//FC（AD//BC），∴只需ED=FC。
即2t=10-2t，解得t=2.5。
综上，当t=2.5时，四边形EDCF是平行四边形。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=10cm，AD//BC，AO=OC。
∵AD//BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO。
在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF。
∵点E运动速度为2cm/s，运动时间为t s，∴DE=2t cm，AE=AD-DE=10-2t cm，∴CF=AE=10-2t cm。
要使四边形EDCF是平行四边形，∵ED//FC（AD//BC），∴只需ED=FC。
即2t=10-2t，解得t=2.5。
综上，当t=2.5时，四边形EDCF是平行四边形。
