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1. 若一个等腰梯形的一个底角为$120^{\circ}$，上底长为3，下底长为5，则其腰长为。
答案
2
解析
过等腰梯形上底的一个顶点作下底的垂线，将梯形分成一个直角三角形和一个矩形。下底比上底长5-3=2，所以直角三角形的一条直角边为1。底角为120°，则其邻补角为60°，在直角三角形中，60°角所对的直角边是斜边（腰长）的一半，故腰长为2。
2. 如图，在$□ ABCD$中，$AB = 4$，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$。若$AC + BD = 16$，则$△ COD$的周长为。
答案
12
解析
在平行四边形$ABCD$中，$DC = AB = 4$，$OC = \frac{1}{2}AC$，$OD = \frac{1}{2}BD$。
已知$AC + BD = 16$，所以$OC + OD=\frac{1}{2}(AC + BD) = 8$。
$△ COD$的周长为$OC + OD + DC = 8 + 4=12$。
已知$AC + BD = 16$，所以$OC + OD=\frac{1}{2}(AC + BD) = 8$。
$△ COD$的周长为$OC + OD + DC = 8 + 4=12$。
3. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$EF$过点$O$，交$AD$于点$E$，交$BC$于点$F$。若$AB = 3$，$AC = 4$，$AD = 5$，则图中阴影部分的面积是。
答案
6
解析
在□ABCD中，AB=3，AD=5，AC=4。因为AB²+AC²=3²+4²=25=5²=BC²，所以△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。则S△ABC=1/2×AB×AC=1/2×3×4=6，故□ABCD的面积=2×S△ABC=12。
由于平行四边形对角线互相平分，O为AC中点，EF过O交AD于E、BC于F。易证△AOE≌△COF（ASA），△DOE≌△BOF（ASA），所以阴影部分面积等于△AOD与△BOC面积之和。又因为平行四边形对角线将其分成面积相等的四个三角形，每个小三角形面积=12÷4=3，故阴影部分面积=3+3=6。
由于平行四边形对角线互相平分，O为AC中点，EF过O交AD于E、BC于F。易证△AOE≌△COF（ASA），△DOE≌△BOF（ASA），所以阴影部分面积等于△AOD与△BOC面积之和。又因为平行四边形对角线将其分成面积相等的四个三角形，每个小三角形面积=12÷4=3，故阴影部分面积=3+3=6。
4. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，$AB = CD = 2$，$BC = 5$，$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$，且$AE // CD$，则四边形$ABCD$的面积为。
答案
4√3
解析
∵AD//BC，AE//CD，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC，AE=CD=2。
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE。
∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=2。
∵BC=5，∴EC=BC-BE=5-2=3，∴AD=EC=3。
∵AB=AE=BE=2，∴△ABE是等边三角形，∠B=60°。
过A作AF⊥BC于F，在Rt△ABF中，AF=AB·sin60°=2×(√3/2)=√3。
梯形ABCD面积=(AD+BC)·AF/2=(3+5)×√3/2=4√3。
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE。
∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=2。
∵BC=5，∴EC=BC-BE=5-2=3，∴AD=EC=3。
∵AB=AE=BE=2，∴△ABE是等边三角形，∠B=60°。
过A作AF⊥BC于F，在Rt△ABF中，AF=AB·sin60°=2×(√3/2)=√3。
梯形ABCD面积=(AD+BC)·AF/2=(3+5)×√3/2=4√3。
5. 已知：如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$，$F$分别是$OA$，$OC$的中点。
求证：$BE = DF$。
求证：$BE = DF$。
答案
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=OA/2，OF=OC/2，
∴OE=OF。
在△BOE和△DOF中，
OB=OD，∠BOE=∠DOF（对顶角相等），OE=OF，
∴△BOE≌△DOF（SAS）。
∴BE=DF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=OA/2，OF=OC/2，
∴OE=OF。
在△BOE和△DOF中，
OB=OD，∠BOE=∠DOF（对顶角相等），OE=OF，
∴△BOE≌△DOF（SAS）。
∴BE=DF。
6. 提升题 如图①，$□ ABCD$的对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，$EF$过点$O$且与边$AB$，$CD$分别相交于点$E$和点$F$。
（1）求证：$OE = OF$。
（2）如图②，已知$AD = 1$，$BD = 2$，$AC = 2\sqrt{2}$，$∠ DOF = ∠ α$。
①当$∠ α$为多少度时，$EF ⊥ AC$？
②在①的条件下，连接$AF$，求$△ ADF$的周长。
（1）求证：$OE = OF$。
（2）如图②，已知$AD = 1$，$BD = 2$，$AC = 2\sqrt{2}$，$∠ DOF = ∠ α$。
①当$∠ α$为多少度时，$EF ⊥ AC$？
②在①的条件下，连接$AF$，求$△ ADF$的周长。
答案
（1）见证明过程；（2）①45°；②1+√5
解析
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，AB//CD。∴∠OAE=∠OCF。在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCF，AO=CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA）。∴OE=OF。
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=AC/2=√2，DO=BD/2=1。∵AD=1，∴AD²+DO²=1+1=2=AO²。∴△AOD是直角三角形，∠ADO=90°，且AD=DO，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOD=45°。∴∠COD=180°-∠AOD=135°。∵EF⊥AC，∴∠COF=90°。∴∠DOF=∠COD-∠COF=135°-90°=45°。即∠α=45°。
②∵EF⊥AC，O为AC中点，∴AF=CF。∵CD=√(DO²+CO²-2·DO·CO·cos135°)=√(1+2-2×1×√2×(-√2/2))=√5。∴△ADF周长=AD+DF+AF=AD+DF+CF=AD+CD=1+√5。
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=AC/2=√2，DO=BD/2=1。∵AD=1，∴AD²+DO²=1+1=2=AO²。∴△AOD是直角三角形，∠ADO=90°，且AD=DO，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOD=45°。∴∠COD=180°-∠AOD=135°。∵EF⊥AC，∴∠COF=90°。∴∠DOF=∠COD-∠COF=135°-90°=45°。即∠α=45°。
②∵EF⊥AC，O为AC中点，∴AF=CF。∵CD=√(DO²+CO²-2·DO·CO·cos135°)=√(1+2-2×1×√2×(-√2/2))=√5。∴△ADF周长=AD+DF+AF=AD+DF+CF=AD+CD=1+√5。
