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第 2 课时 实数的运算
课前预习
1. 实数的性质
(1) 实数的相反数：实数 $ a $ 的相反数是；
(2) 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是；一个负实数的绝对值是；0 的绝对值是。
即设 $ a $ 表示一个实数，则
$|a|=\begin{cases}\_\_\_\_\_\_, & \mathrm{当 } a＞0 \mathrm{ 时}； \\\_\_\_\_\_\_, & \mathrm{当 } a=0 \mathrm{ 时}； \\\_\_\_\_\_\_, & \mathrm{当 } a＜0 \mathrm{ 时}。\end{cases}$
注意：一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离。
2. 实数的运算
(1) 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为 0)、乘方运算，而且正数及 0 可以进行运算，任意一个实数可以进行运算；
(2) 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用；
(3) 在实数运算中，无理数可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替。
课前预习
1. 实数的性质
(1) 实数的相反数：实数 $ a $ 的相反数是；
(2) 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是；一个负实数的绝对值是；0 的绝对值是。
即设 $ a $ 表示一个实数，则
$|a|=\begin{cases}\_\_\_\_\_\_, & \mathrm{当 } a＞0 \mathrm{ 时}； \\\_\_\_\_\_\_, & \mathrm{当 } a=0 \mathrm{ 时}； \\\_\_\_\_\_\_, & \mathrm{当 } a＜0 \mathrm{ 时}。\end{cases}$
注意：一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离。
2. 实数的运算
(1) 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为 0)、乘方运算，而且正数及 0 可以进行运算，任意一个实数可以进行运算；
(2) 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用；
(3) 在实数运算中，无理数可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替。
答案
1. （1）$-a$；
（2）它本身；它的相反数；$0$；$a$；$0$；$-a$；
2. （1）开平方；开立方。
（2）它本身；它的相反数；$0$；$a$；$0$；$-a$；
2. （1）开平方；开立方。
【例 1】填空：
(1) $-\sqrt{3}$ 的相反数是，$\sqrt{5}-2$ 的相反数是；
(2) $|0|=$，$|-5|=$，$|\sqrt{2}|=$，$|1-\sqrt{3}|=$。
(1) $-\sqrt{3}$ 的相反数是，$\sqrt{5}-2$ 的相反数是；
(2) $|0|=$，$|-5|=$，$|\sqrt{2}|=$，$|1-\sqrt{3}|=$。
答案
(1) $\sqrt{3}$；$2-\sqrt{5}$
(2) $0$；$5$；$\sqrt{2}$；$\sqrt{3}-1$
(2) $0$；$5$；$\sqrt{2}$；$\sqrt{3}-1$
【例 2】到原点的距离等于 $\sqrt{5}$ 的数是。
重点必记
(1) 在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样；
(2) $a + b$ 的相反数是 $-a - b$，$a - b$ 的相反数是 $b - a$；
(3) $|a - b|=\begin{cases}a - b, & \mathrm{当 } a \mathrm{ 大于或等于 } b \mathrm{ 时}； \\ b - a, & \mathrm{当 } a \mathrm{ 小于 } b \mathrm{ 时}。\end{cases}$
【变式 1】$\sqrt{2}-1$ 的相反数是，$|3.14-π|=$。
重点必记
(1) 在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样；
(2) $a + b$ 的相反数是 $-a - b$，$a - b$ 的相反数是 $b - a$；
(3) $|a - b|=\begin{cases}a - b, & \mathrm{当 } a \mathrm{ 大于或等于 } b \mathrm{ 时}； \\ b - a, & \mathrm{当 } a \mathrm{ 小于 } b \mathrm{ 时}。\end{cases}$
【变式 1】$\sqrt{2}-1$ 的相反数是，$|3.14-π|=$。
答案
【例 2】
设该数为$x$，则$|x| = \sqrt{5}$，解得$x = \pm \sqrt{5}$。
故答案为：$\pm \sqrt{5}$
【变式 1】
根据相反数的定义，$\sqrt{2} - 1$的相反数是$-(\sqrt{2} - 1) = 1 - \sqrt{2}$。
因为$π ＞ 3.14$，所以$|3.14 - π| = π - 3.14$。
故答案为：$1 - \sqrt{2}$；$π - 3.14$。
设该数为$x$，则$|x| = \sqrt{5}$，解得$x = \pm \sqrt{5}$。
故答案为：$\pm \sqrt{5}$
【变式 1】
根据相反数的定义，$\sqrt{2} - 1$的相反数是$-(\sqrt{2} - 1) = 1 - \sqrt{2}$。
因为$π ＞ 3.14$，所以$|3.14 - π| = π - 3.14$。
故答案为：$1 - \sqrt{2}$；$π - 3.14$。
【例 3】计算：
(1) $3\sqrt{2}-2\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{7}-\sqrt{11}+|\sqrt{2}-\sqrt{11}|$；
(3) $\sqrt[3]{27}+\frac{1}{2}×(\sqrt{16}-\sqrt{2})-|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$。
【变式 2】计算：
(1) $\sqrt[3]{-1}+\sqrt{9}-\sqrt{1+\frac{5}{4}}×\sqrt{(-4)^2}$；
(2) $\sqrt{(-6)^2}-|2\sqrt{3}-4|-\sqrt[3]{-27}-2\sqrt{3}$。
(1) $3\sqrt{2}-2\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{7}-\sqrt{11}+|\sqrt{2}-\sqrt{11}|$；
(3) $\sqrt[3]{27}+\frac{1}{2}×(\sqrt{16}-\sqrt{2})-|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$。
【变式 2】计算：
(1) $\sqrt[3]{-1}+\sqrt{9}-\sqrt{1+\frac{5}{4}}×\sqrt{(-4)^2}$；
(2) $\sqrt{(-6)^2}-|2\sqrt{3}-4|-\sqrt[3]{-27}-2\sqrt{3}$。
答案
(1)
$3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3 - 2)\sqrt{2} = \sqrt{2}$。
(2)
$\begin{aligned}\sqrt{7} - \sqrt{11} + \vert\sqrt{2} - \sqrt{11}\vert &= \sqrt{7} - \sqrt{11} + (\sqrt{11} - \sqrt{2}) \\&= \sqrt{7} - \sqrt{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}\sqrt[3]{27} + \frac{1}{2} × (\sqrt{16} - \sqrt{2}) - \vert\sqrt{2} - \sqrt{3}\vert &= 3 + \frac{1}{2} × (4 - \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \\&= 3 + 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} \\&= 5 - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【变式 2 】
(1)
$\begin{aligned}\sqrt[3]{- 1} + \sqrt{9} - \sqrt{1 + \frac{5}{4}} ×\sqrt{(- 4)^2} &= - 1 + 3 - \sqrt{\frac{9}{4}} × 4 \\&= - 1 + 3 - \frac{3}{2} × 4 \\&= - 1 + 3 - 6 \\&= - 4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\sqrt{(-6)^2} - \vert2\sqrt{3} - 4\vert - \sqrt[3]{- 27} - 2\sqrt{3} &= 6 - (4 - 2\sqrt{3}) - ( - 3) - 2\sqrt{3} \\&= 6 - 4 + 2\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{3} \\&= 5\end{aligned}$
$3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3 - 2)\sqrt{2} = \sqrt{2}$。
(2)
$\begin{aligned}\sqrt{7} - \sqrt{11} + \vert\sqrt{2} - \sqrt{11}\vert &= \sqrt{7} - \sqrt{11} + (\sqrt{11} - \sqrt{2}) \\&= \sqrt{7} - \sqrt{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}\sqrt[3]{27} + \frac{1}{2} × (\sqrt{16} - \sqrt{2}) - \vert\sqrt{2} - \sqrt{3}\vert &= 3 + \frac{1}{2} × (4 - \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \\&= 3 + 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} \\&= 5 - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【变式 2 】
(1)
$\begin{aligned}\sqrt[3]{- 1} + \sqrt{9} - \sqrt{1 + \frac{5}{4}} ×\sqrt{(- 4)^2} &= - 1 + 3 - \sqrt{\frac{9}{4}} × 4 \\&= - 1 + 3 - \frac{3}{2} × 4 \\&= - 1 + 3 - 6 \\&= - 4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\sqrt{(-6)^2} - \vert2\sqrt{3} - 4\vert - \sqrt[3]{- 27} - 2\sqrt{3} &= 6 - (4 - 2\sqrt{3}) - ( - 3) - 2\sqrt{3} \\&= 6 - 4 + 2\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{3} \\&= 5\end{aligned}$
