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1. 如图，如果 $ AB // CD // EF $，那么 $ ∠ BAC + ∠ ACE + ∠ CEF $ 等于().
A.$ 180^{\circ} $
B.$ 270^{\circ} $
C.$ 360^{\circ} $
D.$ 540^{\circ} $
A.$ 180^{\circ} $
B.$ 270^{\circ} $
C.$ 360^{\circ} $
D.$ 540^{\circ} $
答案
C
解析
因为 $AB // CD$，所以 $∠BAC + ∠ACD = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。因为 $CD // EF$，所以 $∠DCE + ∠CEF = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。所以 $∠BAC + ∠ACD + ∠DCE + ∠CEF = 180^{\circ} + 180^{\circ} = 360^{\circ}$。又因为 $∠ACE = ∠ACD + ∠DCE$，所以 $∠BAC + ∠ACE + ∠CEF = 360^{\circ}$。
2. 如图，已知 $ AB // EF $，则 $ ∠ A + ∠ C_{1} + ∠ C_{2} + ∠ E = $.
答案
540°
解析
过点$C_1$作$C_1M // AB$，过点$C_2$作$C_2N // AB$。
∵$AB // EF$，
∴$AB // C_1M // C_2N // EF$。
∵$AB // C_1M$，
∴$∠ A + ∠ AC_1M = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵$C_1M // C_2N$，
∴$∠ MC_1C_2 + ∠ NC_2C_1 = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵$C_2N // EF$，
∴$∠ NC_2E + ∠ E = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵$∠ C_1 = ∠ AC_1M + ∠ MC_1C_2$，$∠ C_2 = ∠ NC_2C_1 + ∠ NC_2E$，
∴$∠ A + ∠ C_1 + ∠ C_2 + ∠ E = (∠ A + ∠ AC_1M) + (∠ MC_1C_2 + ∠ NC_2C_1) + (∠ NC_2E + ∠ E) = 180° + 180° + 180° = 540°$。
∵$AB // EF$，
∴$AB // C_1M // C_2N // EF$。
∵$AB // C_1M$，
∴$∠ A + ∠ AC_1M = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵$C_1M // C_2N$，
∴$∠ MC_1C_2 + ∠ NC_2C_1 = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵$C_2N // EF$，
∴$∠ NC_2E + ∠ E = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵$∠ C_1 = ∠ AC_1M + ∠ MC_1C_2$，$∠ C_2 = ∠ NC_2C_1 + ∠ NC_2E$，
∴$∠ A + ∠ C_1 + ∠ C_2 + ∠ E = (∠ A + ∠ AC_1M) + (∠ MC_1C_2 + ∠ NC_2C_1) + (∠ NC_2E + ∠ E) = 180° + 180° + 180° = 540°$。
3. 如图，已知 $ AB // EF $，则 $ ∠ A + ∠ C_{1} + ∠ C_{2} + ∠ C_{3} + ··· + ∠ C_{n} + ∠ E = $.答案
$(n + 1)× 180°$（或填$180°(n + 1)\rbrack$。
解析
作$CG_1// AB$，$G_1G_2// AB$，$···$，$G_{n - 1}G_n// AB$。
由于$AB// EF$，根据平行公理的推论，这些新作的直线也都平行于$EF$。
根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ A+∠ AC_1G_1 = ∠ G_1C_2C_1+ ∠ C_1C_2G_2=180°$，$···$，$∠ G_{n-1}C_nE+ ∠ E=180°$。
将所有式子相加，经过整理可得：
$∠ A+ ∠ C_1+ ∠ C_2+ ··· + ∠ C_n+ ∠ E=(n + 1)× 180°$。
由于$AB// EF$，根据平行公理的推论，这些新作的直线也都平行于$EF$。
根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ A+∠ AC_1G_1 = ∠ G_1C_2C_1+ ∠ C_1C_2G_2=180°$，$···$，$∠ G_{n-1}C_nE+ ∠ E=180°$。
将所有式子相加，经过整理可得：
$∠ A+ ∠ C_1+ ∠ C_2+ ··· + ∠ C_n+ ∠ E=(n + 1)× 180°$。
4. (2024 泸州龙马潭区期末)如图，$ EF // AB $，$ CB $ 平分 $ ∠ FCD $ 交 $ AB $ 于点 $ B $，若 $ ∠ A = 20^{\circ} $，$ ∠ B = 55^{\circ} $，则 $ ∠ ADC $ 的度数是().
A.$ 110^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 130^{\circ} $
D.$ 140^{\circ} $
A.$ 110^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 130^{\circ} $
D.$ 140^{\circ} $
答案
D
解析
过点C作辅助线，因为EF//AB，所以∠FCB=∠B=55°（两直线平行，同位角相等）。
因为CB平分∠FCD，所以∠FCD=2∠FCB=110°。
又因为EF//AB，∠A=20°，所以∠FCA=∠A=20°（两直线平行，内错角相等）。
则∠ACD=∠FCD - ∠FCA=110° - 20°=90°，且∠BCD=∠FCB=55°，故∠ACB=∠ACD + ∠BCD=145°。
在四边形ACBD中，内角和为360°，所以∠ADC=360° - ∠A - ∠B - ∠ACB=360° - 20° - 55° - 145°=140°。
因为CB平分∠FCD，所以∠FCD=2∠FCB=110°。
又因为EF//AB，∠A=20°，所以∠FCA=∠A=20°（两直线平行，内错角相等）。
则∠ACD=∠FCD - ∠FCA=110° - 20°=90°，且∠BCD=∠FCB=55°，故∠ACB=∠ACD + ∠BCD=145°。
在四边形ACBD中，内角和为360°，所以∠ADC=360° - ∠A - ∠B - ∠ACB=360° - 20° - 55° - 145°=140°。
5. 如图，直线 $ AB // CD // EF $，则 $ ∠ α + ∠ β - ∠ \gamma = $.
答案
180°
解析
过点D分析，因为AB//CD，所以∠α与∠ADC是同旁内角，故∠α + ∠ADC = 180°，即∠ADC = 180° - ∠α。又因为CD//EF，所以∠CDF与∠γ是内错角，故∠CDF = ∠γ。由图知∠β = ∠ADC + ∠CDF，代入得∠β = (180° - ∠α) + ∠γ，移项可得∠α + ∠β - ∠γ = 180°。
6. 如图，$ AE // BD $，$ ∠ A = ∠ BDC $，$ ∠ AEC $ 的平分线 $ EF $ 交 $ CD $ 的延长线于点 $ F $.
(1)说明：$ AB // CD $；
(2)探究 $ ∠ A $，$ ∠ AEC $，$ ∠ C $ 之间的数量关系，并说明理由；
(3)若 $ ∠ BDC = 140^{\circ} $，$ ∠ F = 20^{\circ} $，则 $ ∠ C $ 的度数为.
(1)说明：$ AB // CD $；
(2)探究 $ ∠ A $，$ ∠ AEC $，$ ∠ C $ 之间的数量关系，并说明理由；
(3)若 $ ∠ BDC = 140^{\circ} $，$ ∠ F = 20^{\circ} $，则 $ ∠ C $ 的度数为.
答案
(1)∵AE//BD，∴∠A+∠ABD=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵∠A=∠BDC，∴∠BDC+∠ABD=180°，∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
(2)∠A+∠AEC-∠C=180°。理由：过点E作EG//AB，∵AB//CD，∴EG//CD。∵EG//AB，∴∠A+∠AEG=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵EG//CD，∴∠GEC=∠C（两直线平行，内错角相等）。∵∠AEC=∠AEG+∠GEC，∴∠AEG=∠AEC-∠GEC=∠AEC-∠C。∴∠A+∠AEC-∠C=180°。
(3)80°
(2)∠A+∠AEC-∠C=180°。理由：过点E作EG//AB，∵AB//CD，∴EG//CD。∵EG//AB，∴∠A+∠AEG=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵EG//CD，∴∠GEC=∠C（两直线平行，内错角相等）。∵∠AEC=∠AEG+∠GEC，∴∠AEG=∠AEC-∠GEC=∠AEC-∠C。∴∠A+∠AEC-∠C=180°。
(3)80°
