1. 计算：$\sqrt{20} ÷ \sqrt{4} =$；$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} =$.

$\sqrt{5}$；$\frac{\sqrt{10}}{2}$（或 $\frac{1}{2}\sqrt{10}$）

1.计算$\sqrt{20}÷\sqrt{4}$：
根据二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b ＞ 0$），对于$\sqrt{20}÷\sqrt{4}$，这里$a = 20$，$b = 4$，则$\sqrt{20}÷\sqrt{4}=\sqrt{\frac{20}{4}}=\sqrt{5}$。
2.计算$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$：
为了将分母有理化，给分子分母同时乘以$\sqrt{2}$，得到$\frac{\sqrt{5}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$。
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），则$\sqrt{5}×\sqrt{2}=\sqrt{5×2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$。
所以$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。

2. 在$\sqrt{14}$，$\sqrt{32}$，$\sqrt{\dfrac{1}{8}}$，$\sqrt{9}$中，是最简二次根式的是.

$\sqrt{14}$

最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式。$\sqrt{14}$中14不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，不是最简二次根式；$\sqrt{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，不是最简二次根式；$\sqrt{9}=3$，不是最简二次根式。

3. 若等式$\sqrt{\dfrac{1 - a}{a + 3}} = \dfrac{\sqrt{1 - a}}{\sqrt{a + 3}}$成立，则$a$的取值范围是.

$-3 ＜ a ≤ 1$

要使等式$\sqrt{\dfrac{1 - a}{a + 3}} = \dfrac{\sqrt{1 - a}}{\sqrt{a + 3}}$成立，需满足：
1. 分子根号下非负：$1 - a ≥ 0$，即$a ≤ 1$；
2. 分母根号下为正：$a + 3 ＞ 0$，即$a ＞ -3$；
3. 分母不为零（已由$a + 3 ＞ 0$保证）。
综上，$-3 ＜ a ≤ 1$。

4. 若$\sqrt{2a - 4}$是最简二次根式，则整数$a$的最小值为.

3

要使$\sqrt{2a - 4}$是最简二次根式，被开方数$2a - 4$需满足不含能开得尽方的因数或因式，且为非负数。
首先，$2a - 4 ≥ 0$，解得$a ≥ 2$。
其次，$2a - 4 = 2(a - 2)$，要使其不含开得尽方的因数，$a - 2$不能含有因数$2$及其他平方数。
当$a = 2$时，$2a - 4 = 0$，$\sqrt{0} = 0$不是二次根式；
当$a = 3$时，$2a - 4 = 2$，$\sqrt{2}$是最简二次根式。
所以整数$a$的最小值为$3$。

5. 计算：
(1)$3\sqrt{18} ÷ 2\sqrt{6} × \dfrac{\sqrt{3}}{2} =$；
(2)$5\sqrt{45} × \sqrt{2\dfrac{2}{3}} ÷ \dfrac{\sqrt{8}}{2} =$.

10√15

(2)原式$=5\sqrt{45} × \sqrt{\dfrac{8}{3}} ÷ \dfrac{\sqrt{8}}{2}$
$=5\sqrt{45} × \sqrt{\dfrac{8}{3}} × \dfrac{2}{\sqrt{8}}$
$=5× 3\sqrt{5} × \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} × \dfrac{2}{2\sqrt{2}}$（化简根式：$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，$\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，$\dfrac{2}{\sqrt{8}}=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$）
$=15\sqrt{5} × \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} × \dfrac{1}{\sqrt{2}}$（系数计算：$5× 3=15$）
$=15\sqrt{5} × \dfrac{2}{ \sqrt{3}}$（约去$\sqrt{2}$）
$=15\sqrt{5} × \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$（分母有理化：$\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$）
$=10\sqrt{15}$（计算：$15× \dfrac{2}{3}=10$，$\sqrt{5}×\sqrt{3}=\sqrt{15}$）

6. 计算：

（1）$\sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{9}{20}}$；
（2）$(\sqrt{12} × \sqrt{6}) ÷ \sqrt{3}$；
（3）$\dfrac{\sqrt{12x}}{y} · (\sqrt{\dfrac{y}{x}} ÷ \sqrt{\dfrac{2}{y}})$.

(1)
$\sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{9}{20}} = \sqrt{5 × \dfrac{9}{20}} = \sqrt{\dfrac{45}{20}} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}$.
(2)
$(\sqrt{12} × \sqrt{6}) ÷ \sqrt{3} = \sqrt{12 × 6 ÷ 3} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
(3)
$\dfrac{\sqrt{12x}}{y} · (\sqrt{\dfrac{y}{x}} ÷ \sqrt{\dfrac{2}{y}}) = \dfrac{\sqrt{12x}}{y} · \sqrt{\dfrac{y}{x} · \dfrac{y}{2}} = \dfrac{\sqrt{12x}}{y} · \sqrt{\dfrac{y^2}{2x}} = \dfrac{\sqrt{12x · \dfrac{y^2}{2x}}}{y} = \dfrac{\sqrt{6y^2}}{y} = \sqrt{6}$.

7. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛出的物体下落的时间$t$（单位：$\mathrm{s}$）和高度$h$（单位：$\mathrm{m}$）近似满足公式$t = \sqrt{\dfrac{h}{5}}$（不考虑空气阻力的影响）.
（1）若从$40\ \mathrm{m}$高空抛出的物体从抛出到落地所需时间为$t_{1}$，从$90\ \mathrm{m}$高空抛出的物体从抛出到落地所需时间为$t_{2}$，则$t_{2}$是$t_{1}$的多少倍？
（2）若从高空抛出物体经过$3\ \mathrm{s}$落地，则所抛物体下落的高度是多少？

（1）当$h = 40$时，$t_{1}=\sqrt{\dfrac{40}{5}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；当$h = 90$时，$t_{2}=\sqrt{\dfrac{90}{5}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。$\dfrac{t_{2}}{t_{1}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3}{2}$，即$t_{2}$是$t_{1}$的$\dfrac{3}{2}$倍。
（2）由$t = \sqrt{\dfrac{h}{5}}$，当$t = 3$时，$3=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$，两边平方得$9=\dfrac{h}{5}$，解得$h = 45$。所抛物体下落的高度是$45\ \mathrm{m}$。

8. 提升题 作商比较法的理论依据：当$a ＞ 0$，$b ＞ 0$时，若$\dfrac{a}{b} ＞ 1$，则$a ＞ b$；若$\dfrac{a}{b} = 1$，则$a = b$；若$\dfrac{a}{b} ＜ 1$，则$a ＜ b$.请用作商法比较$\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{3}}$与$\dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{12}}$的大小.

解：设$a = \dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{3}}$，$b = \dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{12}}$，则$a＞0$，$b＞0$。
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{3}}}{\dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{12}}} = \dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{3}} × \dfrac{\sqrt{12}}{3\sqrt{5}}$
$=\dfrac{\sqrt{20 × 12}}{3\sqrt{3 × 5}} = \dfrac{\sqrt{240}}{3\sqrt{15}}$
$=\dfrac{\sqrt{16 × 15}}{3\sqrt{15}} = \dfrac{4\sqrt{15}}{3\sqrt{15}} = \dfrac{4}{3}$
因为$\dfrac{4}{3} ＞ 1$，所以$a ＞ b$，即$\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{3}} ＞ \dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{12}}$。