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7. 已知点$A(1,2)$，过点$A$向$y$轴作垂线，垂足为$M$，则点$M$的坐标为()
A.$(1,2)$
B.$(2,0)$
C.$(0,1)$
D.$(0,2)$
A.$(1,2)$
B.$(2,0)$
C.$(0,1)$
D.$(0,2)$
答案
D
解析
在平面直角坐标系中，点$A(1,2)$的纵坐标为$2$，横坐标为$1$。
由于垂线垂直于$y$轴，垂足$M$的横坐标必须为$0$（因为垂线到$y$轴的水平距离为$0$），而纵坐标与点$A$的纵坐标相同，即为$2$。
因此，点$M$的坐标为$(0,2)$。
由于垂线垂直于$y$轴，垂足$M$的横坐标必须为$0$（因为垂线到$y$轴的水平距离为$0$），而纵坐标与点$A$的纵坐标相同，即为$2$。
因此，点$M$的坐标为$(0,2)$。
8. 如图，在平面内，两条直线$l_1$、$l_2$相交于点$O$，对于平面内任意一点$M$，若$p$、$q$分别是点$M$到直线$l_1$、$l_2$的距离，则称$(p,q)$为点$M$的“距离坐标”. 根据上述规定，“距离坐标”是$(2,1)$的点的个数有()
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案
C
解析
根据题意可知，若点$M$的“距离坐标”是$(2,1)$，则有$p=2$，$q=1$。
点$M$到直线$l_1$的距离为$2$，则点$M$在平行于$l_1$且与$l_1$距离为$2$的两条平行线$a_1$、$a_2$上；
点$M$到直线$l_2$的距离为$1$，则点$M$在平行于$l_2$且与$l_2$距离为$1$的两条平行线$b_1$、$b_2$上。
直线$a_1$、$a_2$与直线$b_1$、$b_2$分别相交，共有$4$个交点，所以“距离坐标”是$(2,1)$的点的个数是$4$个。
点$M$到直线$l_1$的距离为$2$，则点$M$在平行于$l_1$且与$l_1$距离为$2$的两条平行线$a_1$、$a_2$上；
点$M$到直线$l_2$的距离为$1$，则点$M$在平行于$l_2$且与$l_2$距离为$1$的两条平行线$b_1$、$b_2$上。
直线$a_1$、$a_2$与直线$b_1$、$b_2$分别相交，共有$4$个交点，所以“距离坐标”是$(2,1)$的点的个数是$4$个。
9. 点$E(a,b)$到$x$轴的距离是$5$，到$y$轴的距离是$4$，且点$E$在第三象限，则点$E$的坐标为.
答案
$(-4,-5)$
解析
点$E(a,b)$到$x$轴的距离是$|b|=5$，到$y$轴的距离是$|a|=4$，则$b=\pm5$，$a=\pm4$。因为点$E$在第三象限，所以$a＜0$，$b＜0$，故$a=-4$，$b=-5$，点$E$的坐标为$(-4,-5)$。
10. 已知点$M(a,b)$，且$ab＞0$，$a + b＜0$，则点$M$在第象限.
答案
三
解析
因为$ab＞0$，所以$a$、$b$同号。又因为$a + b＜0$，所以$a＜0$，$b＜0$，故点$M(a,b)$在第三象限。
11. 已知$AB// x$轴，点$A$的坐标为$(-3,2)$，并且$AB = 4$，则点$B$的坐标为.
答案
$(-7,2)$或$(1,2)$
解析
由于 $AB // x$ 轴，点 $A$ 和点 $B$ 的纵坐标相同，即点 $B$ 的纵坐标为 $2$。
设点 $ B$ 的横坐标为 $x$，则 $AB$ 的长度为 $|x - (-3)| = |x + 3|$。
根据题意， $AB = 4$，所以：
$|x + 3| = 4$，
解这个绝对值方程，得到两个$x + 3 = 4 \quad \mathrm{或} \quad x + 3 = -4$，
解得：$x = 1 \quad \mathrm{或} \quad x = -7$。
因此，点 $B$ 的坐标为 $(-7, 2)$ 或 $(1, 2)$。
设点 $ B$ 的横坐标为 $x$，则 $AB$ 的长度为 $|x - (-3)| = |x + 3|$。
根据题意， $AB = 4$，所以：
$|x + 3| = 4$，
解这个绝对值方程，得到两个$x + 3 = 4 \quad \mathrm{或} \quad x + 3 = -4$，
解得：$x = 1 \quad \mathrm{或} \quad x = -7$。
因此，点 $B$ 的坐标为 $(-7, 2)$ 或 $(1, 2)$。
12. 如图，这是某学校的平面示意图，图中小方格都是边长为$1$个单位长度的正方形，若艺术楼的坐标为$(2,a)$，实验楼的坐标为$(b,-1)$.
(1)$a=$，$b=$；
(2)请在图中画出平面直角坐标系，并写出教学楼与体育馆的坐标.
(1)$a=$，$b=$；
(2)请在图中画出平面直角坐标系，并写出教学楼与体育馆的坐标.
答案
(1)
根据图示，艺术楼的纵坐标 $a = 2$，实验楼的横坐标 $b = -2$，
所以，答案为：$a = 2$；$b = -2$。
(2)
在图中画出平面直角坐标系，以实验楼为原点（$-2, -1$）的左方两单位，下方一单位处为坐标原点（$0,0$）, $x$ 轴向右为正，$y$ 轴向上为正。
根据图示：
教学楼的坐标为 $(1, -3)$。
体育馆的坐标为 $(-1, 2)$。
根据图示，艺术楼的纵坐标 $a = 2$，实验楼的横坐标 $b = -2$，
所以，答案为：$a = 2$；$b = -2$。
(2)
在图中画出平面直角坐标系，以实验楼为原点（$-2, -1$）的左方两单位，下方一单位处为坐标原点（$0,0$）, $x$ 轴向右为正，$y$ 轴向上为正。
根据图示：
教学楼的坐标为 $(1, -3)$。
体育馆的坐标为 $(-1, 2)$。
13. (空间观念)已知：点$P(2m + 4,m - 1)$. 试分别根据下列条件，求出点$P$的坐标.
(1)点$P$在$y$轴上；
(2)点$P$在$x$轴上；
(3)点$P$的横坐标比纵坐标大$1$.
(1)点$P$在$y$轴上；
(2)点$P$在$x$轴上；
(3)点$P$的横坐标比纵坐标大$1$.
答案
(1) 点P在y轴上，横坐标为0，即$2m + 4 = 0$，解得$m = -2$，则$m - 1 = -3$，点P坐标为$(0, -3)$。
(2) 点P在x轴上，纵坐标为0，即$m - 1 = 0$，解得$m = 1$，则$2m + 4 = 6$，点P坐标为$(6, 0)$。
(3) 横坐标比纵坐标大1，即$2m + 4 - (m - 1) = 1$，化简得$m + 5 = 1$，解得$m = -4$，则$2m + 4 = -4$，$m - 1 = -5$，点P坐标为$(-4, -5)$。
(2) 点P在x轴上，纵坐标为0，即$m - 1 = 0$，解得$m = 1$，则$2m + 4 = 6$，点P坐标为$(6, 0)$。
(3) 横坐标比纵坐标大1，即$2m + 4 - (m - 1) = 1$，化简得$m + 5 = 1$，解得$m = -4$，则$2m + 4 = -4$，$m - 1 = -5$，点P坐标为$(-4, -5)$。
