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23. (10分)有一捆粗细均匀的金属丝,质量为8.9kg,横截面积为2×10⁻⁵m².小红想知道这捆金属丝的长度.她选了一根规格、材料相同的短金属丝来间接测量这捆金属丝的长度,经测量得知短金属丝的长为1m,质量为0.178kg.求:
(1) 这捆金属丝的总长l.
(2) 此金属丝的密度ρ.
(1) 这捆金属丝的总长l.
(2) 此金属丝的密度ρ.
答案
(1) 设这捆金属丝的总长为 $ l $，短金属丝长 $ l_0 = 1\ \mathrm{m} $，质量 $ m_0 = 0.178\ \mathrm{kg} $，总质量 $ m = 8.9\ \mathrm{kg} $。
因为金属丝粗细均匀、材料相同，所以单位长度质量相同，可得：$\frac{m}{l} = \frac{m_0}{l_0}$
则 $ l = \frac{m l_0}{m_0} = \frac{8.9\ \mathrm{kg} × 1\ \mathrm{m}}{0.178\ \mathrm{kg}} = 50\ \mathrm{m}$
(2) 短金属丝的体积 $ V_0 = S l_0 = 2 × 10^{-5}\ \mathrm{m}^2 × 1\ \mathrm{m} = 2 × 10^{-5}\ \mathrm{m}^3$
金属丝的密度 $ \rho = \frac{m_0}{V_0} = \frac{0.178\ \mathrm{kg}}{2 × 10^{-5}\ \mathrm{m}^3} = 8.9 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(1) $ 50\ \mathrm{m} $
(2) $ 8.9 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 $
因为金属丝粗细均匀、材料相同，所以单位长度质量相同，可得：$\frac{m}{l} = \frac{m_0}{l_0}$
则 $ l = \frac{m l_0}{m_0} = \frac{8.9\ \mathrm{kg} × 1\ \mathrm{m}}{0.178\ \mathrm{kg}} = 50\ \mathrm{m}$
(2) 短金属丝的体积 $ V_0 = S l_0 = 2 × 10^{-5}\ \mathrm{m}^2 × 1\ \mathrm{m} = 2 × 10^{-5}\ \mathrm{m}^3$
金属丝的密度 $ \rho = \frac{m_0}{V_0} = \frac{0.178\ \mathrm{kg}}{2 × 10^{-5}\ \mathrm{m}^3} = 8.9 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(1) $ 50\ \mathrm{m} $
(2) $ 8.9 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 $
24. (10分)建筑工地需要400m³的沙石,为了估测沙石的密度,用一只空桶平平装满一桶沙石,测得桶中的沙石的质量为52kg,再用这只桶装满一桶水,测得桶中水的质量为20kg,ρ水=1.0×10³kg/m³,g取10N/kg.问:
(1) 桶的容积是多少?
(2) 沙石的密度是多少?
(3) 若用一辆载重4000kg的卡车将沙石运送到工地,至少要运多少车?
(1) 桶的容积是多少?
(2) 沙石的密度是多少?
(3) 若用一辆载重4000kg的卡车将沙石运送到工地,至少要运多少车?
答案
（1）由$\rho=\frac{m}{V}$可得，桶的容积：$V_{桶}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{20kg}{1.0×10^{3}kg/m^{3}}=0.02m^{3}$；
所以，桶的容积为$0.02m^3$。
（2）装满一桶沙石时，沙石的体积：$V=V_{桶}=0.02m^{3}$，沙石的密度：$\rho=\frac{m}{V}=\frac{52kg}{0.02m^{3}}=2.6×10^{3}kg/m^{3}$；
所以，沙石的密度为$2.6 × 10^{3}kg/m^3$。
（3）$400m^{3}$沙石的总质量：$m_{总}=\rho V_{总}=2.6×10^{3}kg/m^{3}×400m^{3}=1.04×10^{6}kg$，卡车需要运送的次数：$n=\frac{m_{总}}{m_{车}}=\frac{1.04×10^{6}kg}{4000kg}=260$车。
所以，至少要运260车。
所以，桶的容积为$0.02m^3$。
（2）装满一桶沙石时，沙石的体积：$V=V_{桶}=0.02m^{3}$，沙石的密度：$\rho=\frac{m}{V}=\frac{52kg}{0.02m^{3}}=2.6×10^{3}kg/m^{3}$；
所以，沙石的密度为$2.6 × 10^{3}kg/m^3$。
（3）$400m^{3}$沙石的总质量：$m_{总}=\rho V_{总}=2.6×10^{3}kg/m^{3}×400m^{3}=1.04×10^{6}kg$，卡车需要运送的次数：$n=\frac{m_{总}}{m_{车}}=\frac{1.04×10^{6}kg}{4000kg}=260$车。
所以，至少要运260车。
25. (12分)有一个玻璃瓶,它的质量为0.1kg,当瓶中装满水时,瓶和水的总质量为0.4kg.用此瓶装金属颗粒若干,瓶和金属颗粒的总质量为0.8kg.若在装金属颗粒的瓶中再次装满水,它们的总质量为0.9kg.求:(ρ水=1.0×10³kg/m³)
(1) 玻璃瓶的容积.
(2) 金属颗粒的质量.
(3) 金属颗粒的密度.
(1) 玻璃瓶的容积.
(2) 金属颗粒的质量.
(3) 金属颗粒的密度.
答案
（1）瓶中装满水时水的质量：$m_{水}=m_{总1}-m_{瓶}=0.4kg - 0.1kg = 0.3kg$，
由$\rho=\frac{m}{V}$可得，玻璃瓶的容积：$V_{瓶}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{0.3kg}{1.0×10^{3}kg/m^{3}} = 3×10^{-4}m^{3}$。
（2）金属颗粒的质量：$m_{金}=m_{总2}-m_{瓶}=0.8kg - 0.1kg = 0.7kg$。
（3）再装入水的质量：$m_{水}^\prime=m_{总3}-m_{总2}=0.9kg - 0.8kg = 0.1kg$，
再装入水的体积：$V_{水}^\prime=\frac{m_{水}^\prime}{\rho_{水}}=\frac{0.1kg}{1.0×10^{3}kg/m^{3}} = 1×10^{-4}m^{3}$，
金属颗粒的体积：$V_{金}=V_{瓶}-V_{水}^\prime=3×10^{-4}m^{3}-1×10^{-4}m^{3}=2×10^{-4}m^{3}$，
金属颗粒的密度：$\rho_{金}=\frac{m_{金}}{V_{金}}=\frac{0.7kg}{2×10^{-4}m^{3}} = 3.5×10^{3}kg/m^{3}$。
故答案依次为：（1）$3×10^{-4}m^{3}$；（2）$0.7kg$；（3）$3.5×10^{3}kg/m^{3}$。
由$\rho=\frac{m}{V}$可得，玻璃瓶的容积：$V_{瓶}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{0.3kg}{1.0×10^{3}kg/m^{3}} = 3×10^{-4}m^{3}$。
（2）金属颗粒的质量：$m_{金}=m_{总2}-m_{瓶}=0.8kg - 0.1kg = 0.7kg$。
（3）再装入水的质量：$m_{水}^\prime=m_{总3}-m_{总2}=0.9kg - 0.8kg = 0.1kg$，
再装入水的体积：$V_{水}^\prime=\frac{m_{水}^\prime}{\rho_{水}}=\frac{0.1kg}{1.0×10^{3}kg/m^{3}} = 1×10^{-4}m^{3}$，
金属颗粒的体积：$V_{金}=V_{瓶}-V_{水}^\prime=3×10^{-4}m^{3}-1×10^{-4}m^{3}=2×10^{-4}m^{3}$，
金属颗粒的密度：$\rho_{金}=\frac{m_{金}}{V_{金}}=\frac{0.7kg}{2×10^{-4}m^{3}} = 3.5×10^{3}kg/m^{3}$。
故答案依次为：（1）$3×10^{-4}m^{3}$；（2）$0.7kg$；（3）$3.5×10^{3}kg/m^{3}$。
