例3 已知$A(1,5)$、$B(3,-1)$两点，在x轴上取一点M，要使$AM - BM$取得最大值，求点M的坐标。
分析：“线段之差最大”问题和较为熟悉的“线段之和最小”问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两点之间线段最短”问题，而后者(本题)是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题。
解：如图，作点B关于x轴的对称点$B'$，连接$AB'$并延长与x轴相交，则交点即为所求的点M。此时$AM - BM=AM - B'M=AB'$。
不妨在x轴上任取另一点$M'$，连接$M'A$、$M'B$、$M'B'$，
则$M'A - M'B=M'A - M'B'＜AB'$(三角形两边之差小于第三边)。

$\therefore M'A - M'B＜AM - BM$，即此时$AM - BM$最大。
$\because$点$B'$是$B(3,-1)$关于x轴的对称点，
$\therefore$点$B'$的坐标为$(3,1)$。
把经过$A$、$B'$两点的直线看作一次函数的图像，并设这个一次函数的表达式为$y=kx + b$，把$x = 1$、$y = 5$和$x = 3$、$y = 1$代入，得$\begin{cases}k + b=5,\\3k + b=1.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=7.\end{cases}$
这个一次函数的表达式为$y=-2x + 7$。
令$y = 0$，解得$x=\frac{7}{2}$，
$\therefore$点M的坐标为$(\frac{7}{2},0)$。

例4 在$\triangle ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$。若$\angle C = 90^{\circ}$，如图①，根据勾股定理，有$a^2 + b^2=c^2$。若$\triangle ABC$不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，猜想$a^2 + b^2$与$c^2$的关系，并证明你的结论。

分析：勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形，三边存在$a^2 + b^2=c^2$的关系。对于锐角三角形、钝角三角形，我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来进行研究，即“化斜为直”。
解：若$\triangle ABC$是锐角三角形，则有$a^2 + b^2＞c^2$；若$\triangle ABC$是钝角三角形，$\angle C$为钝角，则有$a^2 + b^2＜c^2$。
如图④，当$\triangle ABC$是锐角三角形时，作$AD⊥ BC$，垂足为D。设CD为x，则有$BD=a - x$。
根据勾股定理，得$b^2 - x^2=c^2-(a - x)^2$，即

$b^2 - x^2=c^2 - a^2+2ax - x^2$。
$\therefore a^2 + b^2=c^2+2ax$。
$\because a＞0$，$x＞0$，
$\therefore 2ax＞0$。
$\therefore a^2 + b^2＞c^2$。
如图⑤，当$\triangle ABC$是钝角三角形时，作$BD⊥ AC$，交AC的延长线于点D。设CD为x，则有$BD^2=a^2 - x^2$。
根据勾股定理，得$(b + x)^2+a^2 - x^2=c^2$，即$a^2 + b^2+2bx=c^2$。

$\because b＞0$，$x＞0$，
$\therefore 2bx＞0$。
$\therefore a^2 + b^2＜c^2$。