7. (★★★)已知$∠ AOB=60°$。小新在学习了角平分线的知识后,作了一个夹角为$120°$(即$∠ DPE=120°$)的角尺来作$∠ AOB$的平分线。
(1)如图①,他先在边$OA$和$OB$上分别取$OD=OE$,再移动角尺使$PD=PE$,然后他就说射线$OP$是$∠ AOB$的平分线。试根据小新的做法说明射线$OP$是$∠ AOB$的平分线。
(2)如图②,小新在确认射线$OP$是$∠ AOB$的平分线后,一时兴起,将角尺绕点$P$旋转了一定的角度,他认为旋转后的线段$PD$和$PE$仍然相等。请问:小新的观点是否正确?为什么?

7. (1)在△OPD和△OPE中,
OD=OE,PD=PE,OP=OP,
所以△OPD≅△OPE(SSS)。
所以∠POD=∠POE。
所以OP是∠AOB的平分线。
(2)结论正确。
理由如下:如图,过点P作PH⊥OA于点H,
PK⊥OB于点K。
因为∠PHO=∠PKO=90°,∠AOB=60°,
所以∠HPK=120°。
因为∠DPE=∠HPK=120°,
所以∠DPH=∠EPK。
因为OP平分∠AOB,PH⊥OA,PK⊥OB,
所以∠POH=∠POK,∠PHO=∠PKO=90°。
在△OPH和△OPK中,
∠POH=∠POK,∠PHO=∠PKO=90°,OP=OP,
所以△OPH≅△OPK(AAS)。
所以PH=PK。
在△PHD和△PKE中,
∠PHD=∠PKE,PH=PK,∠DPH=∠EPK,
所以△PHD≅△PKE(ASA)。
所以PD=PE。

8. (★★★)某数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:
如图①,在$△ ABC$中,$AB=6$,$AC=10$,$D$是$BC$的中点,求$BC$边上的中线$AD$的取值范围。

【阅读理解】
小明在小组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:
(1)如图①,延长$AD$到点$E$,使$DE=AD$,连接$BE$。根据可以判定$△ ADC≌$,得出$AC=$。这样就能把线段$AB$,$AC$,$2AD$集中在$△ ABE$中。利用三角形三边的关系,即可得出中线$AD$的取值范围是。
【方法感悟】
当条件中出现“中点”“中线”等条件时,可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍,构造全等三角形,把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中,使问题解决。
【解决问题】
(2)如图②,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=3$,$AD$是$△ ABC$的中线,$CE⊥ BC$,$CE=5$,且$∠ ADE=90°$,试求线段$AE$的长。

8. (1)SAS △EDB BE 2＜AD＜8
提示:如图,延长AD到点E,使DE=AD,连
接BE。
因为D是BC的中点,
所以BD=CD。
因为∠ADC=∠EDB,
所以△ADC≅△EDB(SAS)。
所以BE=AC=10。
因为在△ABE中,10-6＜AE＜10+6,
所以4＜2AD＜16。
所以2＜AD＜8。
(2)如图,延长ED,AB交于点F。
因为EC⊥BC,
所以∠ECD=90°。
所以∠ABD=∠DBF=∠ECD=90°。
因为AD是中线,
所以BD=CD。
因为∠BDF=∠CDE,
所以△BDF≅△CDE(ASA)。
所以BF=CE=5,ED=DF。
所以AF=3+5=8。
因为∠ADE=∠ADF=90°,DF=ED,
所以△ADF≅△ADE(SAS)。
所以AE=AF=8。