4. 将$-\dfrac{5}{12}$,3,7,$\vert -\dfrac{1}{6}\vert$,2,-1,8,$-(+2\dfrac{1}{4})$的倒数用“＜”连接起来：______.

$-\frac{12}{5}＜-1＜-\frac{4}{9}＜\frac{1}{8}＜\frac{1}{7}＜\frac{1}{3}＜\frac{1}{2}＜6$

【分析】
解题思路可分三步：第一步先化简题目中带绝对值、括号的数，得到各数的最简形式；第二步根据倒数的定义，逐个求出每个原数对应的倒数；第三步按照有理数比较大小的规则排序：负数小于正数，负数比较时绝对值大的数反而小，正数中分子为1的分数，分母越大数值越小，最后把所有倒数按从小到大顺序连接即可。
【解析】
1. 先化简原数：
$\vert -\dfrac{1}{6}\vert=\dfrac{1}{6}$，$-(+2\dfrac{1}{4})=-2\dfrac{1}{4}=-\dfrac{9}{4}$
即所有原数为：$-\dfrac{5}{12},3,7,\dfrac{1}{6},2,-1,8,-\dfrac{9}{4}$
2. 分别求各数的倒数（乘积为1的两个数互为倒数）：
$-\dfrac{5}{12}$的倒数为$-\dfrac{12}{5}$；
3的倒数为$\dfrac{1}{3}$；
7的倒数为$\dfrac{1}{7}$；
$\dfrac{1}{6}$的倒数为$6$；
2的倒数为$\dfrac{1}{2}$；
$-1$的倒数为$-1$；
8的倒数为$\dfrac{1}{8}$；
$-\dfrac{9}{4}$的倒数为$-\dfrac{4}{9}$。
3. 比较大小：
负数部分：$\vert -\dfrac{12}{5}\vert=2.4$，$\vert -1\vert=1$，$\vert -\dfrac{4}{9}\vert\approx0.44$，由负数绝对值大的反而小，得$-\dfrac{12}{5} ＜ -1 ＜ -\dfrac{4}{9}$；
正数部分：分子为1时，分母越大分数越小，得$\dfrac{1}{8} ＜ \dfrac{1}{7} ＜ \dfrac{1}{3} ＜ \dfrac{1}{2} ＜ 6$；
合并后排序为：$-\dfrac{12}{5}＜-1＜-\dfrac{4}{9}＜\dfrac{1}{8}＜\dfrac{1}{7}＜\dfrac{1}{3}＜\dfrac{1}{2}＜6$。
【答案】
$-\frac{12}{5}＜-1＜-\frac{4}{9}＜\frac{1}{8}＜\frac{1}{7}＜\frac{1}{3}＜\frac{1}{2}＜6$
【知识点】
倒数的定义，有理数大小比较，去绝对值与去括号
【点评】
本题属于有理数基础综合题，解题时要注意先准确化简原数再求倒数，负数的倒数符号不变，负数比较大小时不要搞反大小关系，避免因粗心出现错误。
【难度系数】
0.7

5. 计算：
(1)$(-13)×(-6)$；
(2)$(+1\dfrac{2}{3})×(-1\dfrac{1}{5})$；
(3)$3×(-1)×(-\dfrac{1}{3})$；
(4)$(-2)×5×(-5)$.

(1)$(-13)×(-6)=13×6=78$.
(2)$\left(+1\frac{2}{3}\right)×\left(-1\frac{1}{5}\right)=-\left(\frac{5}{3}×\frac{6}{5}\right)=-2$.
(3)$3×(-1)×\left(-\frac{1}{3}\right)=3×1×\frac{1}{3}=1$.
(4)$(-2)×5×(-5)=2×5×5=50$.

【分析】
解决有理数乘法计算问题，核心思路是先定符号，再算绝对值的乘积：①两个有理数相乘时，同号得正、异号得负，再把绝对值相乘；②多个非零有理数相乘时，先数负因数的个数：负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负，再把所有因数的绝对值相乘；③若因数是带分数，要先化成假分数再计算。
对应各小问思考路径：
(1)两个负数相乘属于同号相乘，先确定符号为正，再计算13和6的乘积即可；
(2)一正一负两数相乘异号得负，先把两个带分数化为假分数，再计算绝对值的乘积后加负号；
(3)三个数相乘有2个负因数，负因数个数为偶数，积为正，再计算三个数绝对值的乘积即可；
(4)三个数相乘有2个负因数，负因数个数为偶数，积为正，再计算三个数绝对值的乘积即可。
【解析】
(1) 同号两数相乘得正，计算绝对值的乘积：
$(-13)×(-6)=13×6=78$
(2) 异号两数相乘得负，先将带分数化为假分数再计算：
$(+1\dfrac{2}{3})×(-1\dfrac{1}{5})=-(\dfrac{5}{3}×\dfrac{6}{5})=-2$
(3) 负因数个数为偶数，积为正，计算绝对值的乘积：
$3×(-1)×(-\dfrac{1}{3})=3×1×\dfrac{1}{3}=1$
(4) 负因数个数为偶数，积为正，计算绝对值的乘积：
$(-2)×5×(-5)=2×5×5=50$
【答案】
(1)$78$；(2)$-2$；(3)$1$；(4)$50$
【知识点】
1.有理数乘法法则 2.带分数与假分数互化 3.多个有理数乘法符号判定
【点评】
本题是有理数乘法的基础运算题，解题关键是先准确确定乘积的符号，再计算绝对值的乘积，遇到带分数时先化为假分数再运算，多个因数相乘时先判断符号可简化计算过程，降低出错率。
【难度系数】
0.9

6. 淮南牛肉汤是安徽省淮南市的一道传统美食. 在淮南,牛肉汤店比比皆是. 某牛肉汤店计划每天卖出100碗牛肉汤,每天的实际销售量与计划相比有出入,下表是某星期的销售情况(超出计划销售量的部分记为正,不足计划销售量的部分记为负)：
|星期|一|二|三|四|五|六|日|
|实际销售量/碗|+4|-3|-5|+7|-8|+21|-6|

(1)求前五天共卖出多少碗牛肉汤；
(2)本星期的实际销售总量是否达到了计划销售总量？请说明理由；
(3)若每碗牛肉汤的售价为8元,则该店这个星期共收入多少元？

(1)前5天超出或不足计划数量的和为$4-3-5+7-8=-5$(碗),前5天销售量为$100×5+(-5)=495$(碗).答:前五天共卖出495碗牛肉汤.
(2)达到了,理由如下:$4-3-5+7-8+21-6=10＞0$.所以本星期的实际销售总量达到了计划销售总量.
(3)$(100×7+10)×8=5680$(元).答:该店这个星期共收入5680元.

【分析】
(1) 计算前五天总销量时，先算出前五天的计划总销量（每天计划卖100碗，共5天），再把前五天实际销量和计划量的出入值相加，计划总销量加出入总和就是前五天实际总销量。
(2) 判断本周是否达到计划总量，只需将七天的出入值全部相加，若结果为正，说明实际总销量超出计划，达到了计划总量；若结果为负则未达到。
(3) 计算本周总收入，先算出本周实际总销量（7天的计划总销量加上七天出入值的总和），再乘每碗的售价即可得到总收入。
【解析】
(1) 前五天出入量的总和为：$4-3-5+7-8=-5$（碗）
前五天实际总销量为：$100×5 + (-5)=495$（碗）
答：前五天共卖出495碗牛肉汤。
(2) 达到了，理由如下：
七天出入量的总和为：$4-3-5+7-8+21-6=10$，$10＞0$，说明本周实际总销量比计划总销量多10碗，因此达到了计划销售总量。
(3) 本周实际总销量为：$100×7 +10=710$（碗）
本周总收入为：$710×8=5680$（元）
答：该店这个星期共收入5680元。
【答案】
(1) 495碗；
(2) 达到了；
(3) 5680元
【知识点】
正负数的意义、有理数加减法、有理数乘法
【点评】
本题结合生活实际考查正负数的应用，解题关键是理解正负数表示超出或不足计划量的含义，只要准确计算出入量的总和，结合基本的有理数运算就能顺利解答，需注意运算的准确性。
【难度系数】
0.8

7. 5个有理数相乘,积为负,其中正因数的个数为( )

A.0
B.2
C.4
D.0或2或4

D

【分析】
要解决这道题，首先回忆多个有理数相乘的符号判定规则：多个不为0的有理数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正。已知5个有理数相乘积为负，可先推出负因数的个数是奇数，再结合总因数个数为5，用总个数减去负因数个数就能得到正因数的个数，判断可能的取值即可。
【解析】
根据多个有理数乘法的符号规律：几个不为0的数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负数。
本题中5个有理数相乘积为负，因此负因数的个数为奇数，可能的取值为1个、3个、5个。
正因数的个数 = 总因数个数 - 负因数个数，分别计算：
当负因数有1个时，正因数个数为$5-1=4$；
当负因数有3个时，正因数个数为$5-3=2$；
当负因数有5个时，正因数个数为$5-5=0$。
因此正因数的个数可能为0、2或4，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 有理数乘法符号法则
2. 奇偶数的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对多个有理数相乘时符号判定规则的理解，解题时需注意不要遗漏负因数个数为5（即正因数个数为0）的情况，掌握符号规则是解题的核心。
【难度系数】
0.8

8. (2024·合肥)数轴上表示a,b两个有理数的点如图所示,则下列结论中,不正确的是( )


A.$a + b ＜ 0$
B.$a - b ＜ 0$
C.$ab ＜ 0$
D.$(-ab)^3 ＞ 0$

B 解析:由数轴上点的位置,得$b＜0＜a$,且$|b|＞|a|$,$\therefore a+b＜0$,$a-b＞0$,$ab＜0$,$(-ab)^3＞0$,故不正确的是选项B.

【分析】
首先根据数轴的特征：数轴上右侧的数大于左侧的数，点到原点的距离对应数的绝对值，先得出a、b的符号为$b＜0＜a$，且b的绝对值大于a的绝对值。再结合有理数的加减、乘法、乘方的运算法则，逐一验证四个选项的结论是否正确，即可选出不正确的选项。
【解析】
由数轴上a、b两点的位置可知：$b＜0＜a$，且$|b|＞|a|$。
对各选项逐一分析：
A. 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，因$|b|＞|a|$，b为负数，故$a+b＜0$，该结论正确，不符合题意；
B. 减去一个数等于加上这个数的相反数，因此$a-b=a+(-b)$，b为负数则$-b$为正数，正数加正数结果为正，即$a-b＞0$，该结论错误，符合题意；
C. 两数相乘，异号得负，a为正、b为负，故$ab＜0$，该结论正确，不符合题意；
D. 由$ab＜0$可得$-ab＞0$，正数的立方仍为正数，因此$(-ab)^3＞0$，该结论正确，不符合题意。
综上，不正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用；有理数运算法则；绝对值的性质
【点评】
本题是典型的数形结合类基础题，将数轴上点的位置特征和有理数运算规则结合考查，只要能准确从数轴中提取a、b的符号、绝对值大小关系，再熟练运用有理数各运算法则即可轻松解题。
【难度系数】
0.85

9. 已知两个有理数a,b,如果$ab ＜ 0且a + b ＞ 0$,那么( )

A.$a ＞ 0$,$b ＞ 0$
B.$a ＜ 0$,$b ＞ 0$
C.a,b同号
D.a,b异号,且正数的绝对值较大

D 解析:由$ab＜0$可知$a,b$异号,即一正一负,由$a+b＞0$可知正数的绝对值大于负数的绝对值.

【分析】
解题时先从第一个已知条件$ab＜0$入手，回忆有理数乘法的符号判断规则：两数相乘，同号得正，异号得负，由此可先判断$a$、$b$的符号关系，排除不符合的选项；再结合第二个条件$a+b＞0$，根据异号两数相加的符号规律：和的符号与绝对值更大的加数符号一致，即可确定最终结论。
【解析】
第一步：分析$ab＜0$的含义
根据有理数乘法的符号法则：两数相乘，同号得正，异号得负。由$ab＜0$可得$a$、$b$一定异号（一个为正，一个为负），因此A选项（$a$、$b$都为正）、C选项（$a$、$b$同号）不符合要求，直接排除。
第二步：分析$a+b＞0$的含义
根据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号。已知$a+b$的结果为正，说明正数的绝对值大于负数的绝对值。
B选项只说明$a$负$b$正，没有体现绝对值的大小关系，且也存在$a$正$b$负的可能，不符合要求；D选项表述完全符合两个条件的推导结论。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法符号规律、有理数加法法则
【点评】
本题是有理数运算法则的基础综合应用题，解题的关键是熟练掌握有理数乘法、加法的符号判断规则，通过条件逐步排除错误选项即可得到正确答案，是运算规则考查的典型题型。
【难度系数】
0.8