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2. 一次函数 $ y = ax + b $ 的图象经过点 $ (3,m) $，则关于 $ x $ 的一元一次方程 $ ax + b = m $ 的解是().
A.$ x = 3 $
B.$ x = -3 $
C.$ x = 3 $ 或 $ x = -3 $
D.不能确定
A.$ x = 3 $
B.$ x = -3 $
C.$ x = 3 $ 或 $ x = -3 $
D.不能确定
答案
A
解析
因为一次函数$y=ax+b$的图象经过点$(3,m)$，所以当$x=3$时，$y=m$，即$ax+b=m$成立。因此关于$x$的一元一次方程$ax+b=m$的解为$x=3$。
3. 直线 $ y = x + b(b ＞ 0) $ 与直线 $ y = kx(k ＜ 0) $ 的交点位于().
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
B
解析
联立两条直线的方程：$\begin{cases} y = x + b \\ y = kx \end{cases}$，解得$x=\frac{b}{k-1}$，$y=\frac{kb}{k-1}$。
因为$b＞0$，$k＜0$，所以$k-1＜0$，则$x=\frac{b}{k-1}＜0$；又$kb＜0$，$k-1＜0$，所以$y=\frac{kb}{k-1}＞0$。
交点坐标为$(负,正)$，位于第二象限。
因为$b＞0$，$k＜0$，所以$k-1＜0$，则$x=\frac{b}{k-1}＜0$；又$kb＜0$，$k-1＜0$，所以$y=\frac{kb}{k-1}＞0$。
交点坐标为$(负,正)$，位于第二象限。
4. 在同一平面直角坐标系中，直线 $ y = -x + 4 $ 与 $ y = 2x + m $ 相交于点 $ P(3,n) $，则关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $ \begin{cases}x + y - 4 = 0, \\ 2x - y + m = 0\end{cases}$ 的解是( ).
A.$ \begin{cases} x = -1, \\ y = 5 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = 1, \\ y = 3 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = 3, \\ y = 1 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = 9, \\ y = -5 \end{cases} $
A.$ \begin{cases} x = -1, \\ y = 5 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = 1, \\ y = 3 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = 3, \\ y = 1 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = 9, \\ y = -5 \end{cases} $
答案
C
解析
1. 将点$P(3,n)$代入直线$y=-x+4$，得$n=-3+4=1$，即$P(3,1)$；2. 方程组$\begin{cases}x + y - 4 = 0, \\ 2x - y + m = 0\end{cases}$可化为$\begin{cases}y=-x+4, \\ y=2x+m\end{cases}$，根据一次函数与二元一次方程组的关系，两直线交点坐标即为方程组的解，故方程组的解为$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1 \end{cases}$。
5. 如图，直线 $ y = kx + b $ 交坐标轴于 $ A $，$ B $ 两点，则不等式 $ kx + b ＞ 0 $ 的解集是().
A.$ x ＞ -2 $
B.$ x ＞ 3 $
C.$ x ＜ -2 $
D.$ x ＜ 3 $
A.$ x ＞ -2 $
B.$ x ＞ 3 $
C.$ x ＜ -2 $
D.$ x ＜ 3 $
答案
A
解析
观察图像可知，直线$y=kx+b$与$x$轴交于点$A(-2,0)$，当$y＞0$时，直线位于$x$轴上方，对应的$x$的取值范围是$x＞-2$，即不等式$kx+b＞0$的解集为$x＞-2$。
6. 已知关于 $ x $ 的方程 $ mx + n = 0 $ 的解是 $ x = -2 $，则直线 $ y = mx + n $ 与 $ x $ 轴的交点坐标是.
答案
$(-2, 0)$
解析
根据一次函数与一元一次方程的关系，直线$y=mx+n$与$x$轴交点的横坐标是方程$mx+n=0$的解。已知方程$mx+n=0$的解为$x=-2$，且$x$轴上点的纵坐标为$0$，故直线$y=mx+n$与$x$轴的交点坐标是$(-2, 0)$。
7. 若一次函数 $ y = -2x + b $ 的图象交 $ y $ 轴于点 $ A(0,3) $，则不等式 $ -2x + b ＞ 0 $ 的解集是.
答案
$x＜\frac{3}{2}$
解析
1. 将点$A(0,3)$代入$y=-2x+b$，得$3=-2×0+b$，解得$b=3$，因此函数解析式为$y=-2x+3$；
2. 解不等式$-2x+3＞0$，移项得$-2x＞-3$，两边同时除以$-2$（不等号方向改变），得$x＜\frac{3}{2}$。
2. 解不等式$-2x+3＞0$，移项得$-2x＞-3$，两边同时除以$-2$（不等号方向改变），得$x＜\frac{3}{2}$。
8. 画出函数 $ y = 2x + 1 $ 的图象，利用图象解答下列问题.
(1) 求方程 $ 2x + 1 = 0 $ 的解.
(2) 求不等式 $ 2x + 1 ≥ 0 $ 的解集.
(3) 当 $ y ≤ 3 $ 时，求 $ x $ 的取值范围.
(1) 求方程 $ 2x + 1 = 0 $ 的解.
(2) 求不等式 $ 2x + 1 ≥ 0 $ 的解集.
(3) 当 $ y ≤ 3 $ 时，求 $ x $ 的取值范围.
答案
解：
1. 绘制函数$y=2x+1$的图象：
当$x=0$时，$y=1$；当$y=0$时，$x=-\frac{1}{2}$，
过点$(0,1)$和$(-\frac{1}{2},0)$作直线，即为$y=2x+1$的图象。
(1) 方程$2x+1=0$的解是函数$y=2x+1$的图象与$x$轴交点的横坐标，
由图象可知交点为$(-\frac{1}{2},0)$，故方程的解为$x=-\frac{1}{2}$。
(2) 不等式$2x+1≥0$的解集是函数$y=2x+1$的图象在$x$轴及上方部分对应的$x$的取值，
由图象可知，$x≥-\frac{1}{2}$，故解集为$x≥-\frac{1}{2}$。
(3) 当$y=3$时，代入$y=2x+1$得$3=2x+1$，解得$x=1$，
由图象可知，当$y≤3$时，$x$的取值范围是$x≤1$。
1. 绘制函数$y=2x+1$的图象：
当$x=0$时，$y=1$；当$y=0$时，$x=-\frac{1}{2}$，
过点$(0,1)$和$(-\frac{1}{2},0)$作直线，即为$y=2x+1$的图象。
(1) 方程$2x+1=0$的解是函数$y=2x+1$的图象与$x$轴交点的横坐标，
由图象可知交点为$(-\frac{1}{2},0)$，故方程的解为$x=-\frac{1}{2}$。
(2) 不等式$2x+1≥0$的解集是函数$y=2x+1$的图象在$x$轴及上方部分对应的$x$的取值，
由图象可知，$x≥-\frac{1}{2}$，故解集为$x≥-\frac{1}{2}$。
(3) 当$y=3$时，代入$y=2x+1$得$3=2x+1$，解得$x=1$，
由图象可知，当$y≤3$时，$x$的取值范围是$x≤1$。
