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4. 下列计算正确的是(
A.$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1$
B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$
D.$3+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$
C
)A.$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1$
B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$
D.$3+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$
答案
4. C
5. 已知$m = 1 + \sqrt{2}$，$n = 1 - \sqrt{2}$，则代数式$\sqrt{m^{2}+n^{2}-3mn}$的值为(
A.$9$
B.$\pm3$
C.$3$
D.$5$
C
)A.$9$
B.$\pm3$
C.$3$
D.$5$
答案
5. C
6. 计算$\sqrt{48}+2\sqrt{3}-\sqrt{75}$，正确的结果是(
A.$\sqrt{3}$
B.$1$
C.$5\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}-\sqrt{75}$
A
)A.$\sqrt{3}$
B.$1$
C.$5\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}-\sqrt{75}$
答案
6. A
7. 计算：$2\sqrt{3}-\sqrt{8}-3\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{2}$。
答案
7. 解:原式$ = \sqrt{3} - \sqrt{2} $
8. 先化简，再求值：$(\frac{1}{x - y}-\frac{1}{x + y})÷\frac{2y}{x^{2}+2xy + y^{2}}$，其中$x = \sqrt{3}+\sqrt{2}$，$y = \sqrt{3}-\sqrt{2}$。
答案
8. 解:原式$ = \frac{x + y - x + y}{(x + y)(x - y)} · \frac{(x + y)^2}{2y} $
$ = \frac{2y}{(x + y)(x - y)} · \frac{(x + y)^2}{2y} $
$ = \frac{x + y}{x - y} $
把$ x = \sqrt{3} + \sqrt{2} $，$ y = \sqrt{3} - \sqrt{2} $代入得:
原式$ = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2}} $
$ = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} $
$ = \frac{2y}{(x + y)(x - y)} · \frac{(x + y)^2}{2y} $
$ = \frac{x + y}{x - y} $
把$ x = \sqrt{3} + \sqrt{2} $，$ y = \sqrt{3} - \sqrt{2} $代入得:
原式$ = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2}} $
$ = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} $
9. 长方形的长是$3\sqrt{5}+2\sqrt{3}$，宽是$3\sqrt{5}-2\sqrt{3}$，求长方形的周长。
答案
9. 解:$ 2 × (3\sqrt{5} + 2\sqrt{3} + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}) $
$ = 2 × 6\sqrt{5} = 12\sqrt{5} $
答:长方形周长为$ 12\sqrt{5} $。
$ = 2 × 6\sqrt{5} = 12\sqrt{5} $
答:长方形周长为$ 12\sqrt{5} $。
1. 如图，面积为$48\mathrm{ cm}^{2}$的正方形的四个角均是面积为$3\mathrm{ cm}^{2}$的小正方形，请动手操作，将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，这个长方体盒子的底面边长是多少？
答案
1. 解:
∵大正方形面积为$ 48 \, \mathrm{cm}^2 $，
∴大正方形边长为$ \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \, \mathrm{cm} $
∵小正方形面积为$ 3 \, \mathrm{cm}^2 $，
∴小正方形边长为$ \sqrt{3} \, \mathrm{cm} $
∴底面边长为$ 4\sqrt{3} - 2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \, \mathrm{cm} $。
∵大正方形面积为$ 48 \, \mathrm{cm}^2 $，
∴大正方形边长为$ \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \, \mathrm{cm} $
∵小正方形面积为$ 3 \, \mathrm{cm}^2 $，
∴小正方形边长为$ \sqrt{3} \, \mathrm{cm} $
∴底面边长为$ 4\sqrt{3} - 2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \, \mathrm{cm} $。
2. 先化简，再求值：$\frac{1}{a + b}+\frac{1}{b}+\frac{b}{a(a + b)}$，其中$a = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$b = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
答案
2. 解:原式$ = \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a} - \frac{1}{a + b} $
$ = \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{a + b}{ab} $
∵$ a + b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} $，
$ ab = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{5 - 1}{4} = 1 $，
∴原式$ = \sqrt{5} $。
$ = \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{a + b}{ab} $
∵$ a + b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} $，
$ ab = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{5 - 1}{4} = 1 $，
∴原式$ = \sqrt{5} $。
