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2. 通分:
(1) $\frac{1}{3x^{2}}$，$\frac{5}{12xy}$；
(2) $\frac{1}{x + 1}$，$\frac{1}{x - 1}$；
(3) $\frac{b}{a^{2} - ab}$，$\frac{a - b}{a^{2} + ab}$；
(4) $\frac{1}{x^{2} - y^{2}}$，$\frac{1}{x^{2} + xy}$.
(1) $\frac{1}{3x^{2}}$，$\frac{5}{12xy}$；
(2) $\frac{1}{x + 1}$，$\frac{1}{x - 1}$；
(3) $\frac{b}{a^{2} - ab}$，$\frac{a - b}{a^{2} + ab}$；
(4) $\frac{1}{x^{2} - y^{2}}$，$\frac{1}{x^{2} + xy}$.
答案
2. (1) $\frac{4y}{12x^{2}y}$ $\frac{5x}{12x^{2}y}$ (2) $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ (3) $\frac{b(a + b)}{a(a - b)(a + b)}$ $\frac{(a - b)^{2}}{a(a + b)(a - b)}$ (4) $\frac{x}{x(x + y)(x - y)}$ $\frac{x - y}{x(x + y)(x - y)}$
解析
【解析】
(1) 先确定最简公分母为$12x^{2}y$，
$\frac{1}{3x^{2}}=\frac{1×4y}{3x^{2}×4y}=\frac{4y}{12x^{2}y}$，
$\frac{5}{12xy}=\frac{5× x}{12xy× x}=\frac{5x}{12x^{2}y}$；
(2) 最简公分母为$(x+1)(x-1)=x^{2}-1$，
$\frac{1}{x+1}=\frac{1×(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x^{2}-1}$，
$\frac{1}{x-1}=\frac{1×(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+1}{x^{2}-1}$；
(3) 先对分母因式分解：$a^{2}-ab=a(a-b)$，$a^{2}+ab=a(a+b)$，最简公分母为$a(a-b)(a+b)$，
$\frac{b}{a^{2}-ab}=\frac{b}{a(a-b)}=\frac{b(a+b)}{a(a-b)(a+b)}$，
$\frac{a-b}{a^{2}+ab}=\frac{a-b}{a(a+b)}=\frac{(a-b)^{2}}{a(a+b)(a-b)}$；
(4) 先对分母因式分解：$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$，$x^{2}+xy=x(x+y)$，最简公分母为$x(x+y)(x-y)$，
$\frac{1}{x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{(x+y)(x-y)}=\frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，
$\frac{1}{x^{2}+xy}=\frac{1}{x(x+y)}=\frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$。
【答案】
(1) $\frac{4y}{12x^{2}y}$，$\frac{5x}{12x^{2}y}$；
(2) $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$，$\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$；
(3) $\frac{b(a + b)}{a(a - b)(a + b)}$，$\frac{(a - b)^{2}}{a(a + b)(a - b)}$；
(4) $\frac{x}{x(x + y)(x - y)}$，$\frac{x - y}{x(x + y)(x - y)}$
【知识点】
分式的通分，因式分解，最简公分母的确定
【点评】
通分的关键是确定各分式的最简公分母，当分母是多项式时，需先对分母进行因式分解，再根据最简公分母将各分式的分子分母同乘相应的整式，注意分子要随分母一同变化，保证分式值不变。
【难度系数】
0.7
(1) 先确定最简公分母为$12x^{2}y$，
$\frac{1}{3x^{2}}=\frac{1×4y}{3x^{2}×4y}=\frac{4y}{12x^{2}y}$，
$\frac{5}{12xy}=\frac{5× x}{12xy× x}=\frac{5x}{12x^{2}y}$；
(2) 最简公分母为$(x+1)(x-1)=x^{2}-1$，
$\frac{1}{x+1}=\frac{1×(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x^{2}-1}$，
$\frac{1}{x-1}=\frac{1×(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+1}{x^{2}-1}$；
(3) 先对分母因式分解：$a^{2}-ab=a(a-b)$，$a^{2}+ab=a(a+b)$，最简公分母为$a(a-b)(a+b)$，
$\frac{b}{a^{2}-ab}=\frac{b}{a(a-b)}=\frac{b(a+b)}{a(a-b)(a+b)}$，
$\frac{a-b}{a^{2}+ab}=\frac{a-b}{a(a+b)}=\frac{(a-b)^{2}}{a(a+b)(a-b)}$；
(4) 先对分母因式分解：$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$，$x^{2}+xy=x(x+y)$，最简公分母为$x(x+y)(x-y)$，
$\frac{1}{x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{(x+y)(x-y)}=\frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，
$\frac{1}{x^{2}+xy}=\frac{1}{x(x+y)}=\frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$。
【答案】
(1) $\frac{4y}{12x^{2}y}$，$\frac{5x}{12x^{2}y}$；
(2) $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$，$\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$；
(3) $\frac{b(a + b)}{a(a - b)(a + b)}$，$\frac{(a - b)^{2}}{a(a + b)(a - b)}$；
(4) $\frac{x}{x(x + y)(x - y)}$，$\frac{x - y}{x(x + y)(x - y)}$
【知识点】
分式的通分，因式分解，最简公分母的确定
【点评】
通分的关键是确定各分式的最简公分母，当分母是多项式时，需先对分母进行因式分解，再根据最简公分母将各分式的分子分母同乘相应的整式，注意分子要随分母一同变化，保证分式值不变。
【难度系数】
0.7
1. 分式$\frac{y}{5x^{2}}$和$\frac{y}{2x^{5}}$的最简公分母是(
A.$10x^{7}$
B.$7x^{10}$
C.$10x^{5}$
D.$7x^{7}$
C
)A.$10x^{7}$
B.$7x^{10}$
C.$10x^{5}$
D.$7x^{7}$
答案
1. C
解析
【解析】
确定分式最简公分母的方法：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂。
对于$\frac{y}{5x^{2}}$和$\frac{y}{2x^{5}}$，分母系数5和2的最小公倍数是10，字母x的最高次幂是$x^5$，因此最简公分母是$10x^5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
最简公分母的确定
【点评】
本题主要考查分式最简公分母的确定方法，属于基础题型，熟练掌握相关方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
确定分式最简公分母的方法：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂。
对于$\frac{y}{5x^{2}}$和$\frac{y}{2x^{5}}$，分母系数5和2的最小公倍数是10，字母x的最高次幂是$x^5$，因此最简公分母是$10x^5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
最简公分母的确定
【点评】
本题主要考查分式最简公分母的确定方法，属于基础题型，熟练掌握相关方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. 分式$\frac{5}{x + 3}$，$\frac{4x}{9 - x^{2}}$，$\frac{1}{3 - x}$，$\frac{1}{x^{2} - 6x + 9}$的最简公分母是
$(x + 3)(x - 3)^{2}$
.答案
2. $(x + 3)(x - 3)^{2}$
解析
【解析】
先对各分母进行因式分解：
$9 - x^2 = -(x + 3)(x - 3)$，
$3 - x = -(x - 3)$，
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$，
取各分母所有因式的最高次幂的乘积，可得最简公分母为$(x + 3)(x - 3)^2$。
【答案】
$(x + 3)(x - 3)^{2}$
【知识点】
最简公分母的确定，因式分解（平方差、完全平方）
【点评】
本题考查最简公分母的求解，关键在于先对各分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义选取各因式最高次幂的乘积。
【难度系数】
0.6
先对各分母进行因式分解：
$9 - x^2 = -(x + 3)(x - 3)$，
$3 - x = -(x - 3)$，
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$，
取各分母所有因式的最高次幂的乘积，可得最简公分母为$(x + 3)(x - 3)^2$。
【答案】
$(x + 3)(x - 3)^{2}$
【知识点】
最简公分母的确定，因式分解（平方差、完全平方）
【点评】
本题考查最简公分母的求解，关键在于先对各分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义选取各因式最高次幂的乘积。
【难度系数】
0.6
3. 通分:
(1) $\frac{y}{x(x - y)^{2}}$，$\frac{x}{(y - x)^{3}}$；
(2) $\frac{x}{y^{2} - 4y + 4}$，$\frac{1}{2y - y^{2}}$；
(3) $\frac{1}{1 - a}$，$\frac{3}{(a - 1)^{2}}$，$\frac{2}{(1 - a)^{3}}$.
(1) $\frac{y}{x(x - y)^{2}}$，$\frac{x}{(y - x)^{3}}$；
(2) $\frac{x}{y^{2} - 4y + 4}$，$\frac{1}{2y - y^{2}}$；
(3) $\frac{1}{1 - a}$，$\frac{3}{(a - 1)^{2}}$，$\frac{2}{(1 - a)^{3}}$.
答案
3. (1) $\frac{y(y - x)}{x(y - x)^{3}}$ $\frac{x^{2}}{x(y - x)^{3}}$ (2) $\frac{xy}{y(y - 2)^{2}}$ $-\frac{y - 2}{y(y - 2)^{2}}$ (3) $\frac{(1 - a)^{2}}{(1 - a)^{3}}$ $\frac{3(1 - a)}{(1 - a)^{3}}$ $\frac{2}{(1 - a)^{3}}$
解析
【解析】
(1) 确定最简公分母为$x(y - x)^3$：
$\frac{y}{x(x - y)^2}=\frac{y}{x(y - x)^2}=\frac{y(y - x)}{x(y - x)^3}$，
$\frac{x}{(y - x)^3}=\frac{x· x}{x(y - x)^3}=\frac{x^2}{x(y - x)^3}$；
(2) 先分解分母：$y^2 - 4y + 4=(y - 2)^2$，$2y - y^2=-y(y - 2)$，最简公分母为$y(y - 2)^2$：
$\frac{x}{y^2 - 4y + 4}=\frac{x}{(y - 2)^2}=\frac{x· y}{y(y - 2)^2}=\frac{xy}{y(y - 2)^2}$，
$\frac{1}{2y - y^2}=\frac{1}{-y(y - 2)}=-\frac{1}{y(y - 2)}=-\frac{1·(y - 2)}{y(y - 2)^2}=-\frac{y - 2}{y(y - 2)^2}$；
(3) 统一分母形式：$(a - 1)^2=(1 - a)^2$，最简公分母为$(1 - a)^3$：
$\frac{1}{1 - a}=\frac{1·(1 - a)^2}{(1 - a)·(1 - a)^2}=\frac{(1 - a)^2}{(1 - a)^3}$，
$\frac{3}{(a - 1)^2}=\frac{3}{(1 - a)^2}=\frac{3·(1 - a)}{(1 - a)^2·(1 - a)}=\frac{3(1 - a)}{(1 - a)^3}$，
$\frac{2}{(1 - a)^3}$无需变形。
【答案】
(1) $\frac{y(y - x)}{x(y - x)^{3}}$，$\frac{x^{2}}{x(y - x)^{3}}$；
(2) $\frac{xy}{y(y - 2)^{2}}$，$-\frac{y - 2}{y(y - 2)^{2}}$；
(3) $\frac{(1 - a)^{2}}{(1 - a)^{3}}$，$\frac{3(1 - a)}{(1 - a)^{3}}$，$\frac{2}{(1 - a)^{3}}$
【知识点】
分式的通分，因式分解
【点评】
本题考查分式通分的运算，核心是准确确定最简公分母，需注意分母中互为相反数因式的转化，以及通过因式分解简化分母来确定公分母，通分过程要保证分式值不变。
【难度系数】
0.6
(1) 确定最简公分母为$x(y - x)^3$：
$\frac{y}{x(x - y)^2}=\frac{y}{x(y - x)^2}=\frac{y(y - x)}{x(y - x)^3}$，
$\frac{x}{(y - x)^3}=\frac{x· x}{x(y - x)^3}=\frac{x^2}{x(y - x)^3}$；
(2) 先分解分母：$y^2 - 4y + 4=(y - 2)^2$，$2y - y^2=-y(y - 2)$，最简公分母为$y(y - 2)^2$：
$\frac{x}{y^2 - 4y + 4}=\frac{x}{(y - 2)^2}=\frac{x· y}{y(y - 2)^2}=\frac{xy}{y(y - 2)^2}$，
$\frac{1}{2y - y^2}=\frac{1}{-y(y - 2)}=-\frac{1}{y(y - 2)}=-\frac{1·(y - 2)}{y(y - 2)^2}=-\frac{y - 2}{y(y - 2)^2}$；
(3) 统一分母形式：$(a - 1)^2=(1 - a)^2$，最简公分母为$(1 - a)^3$：
$\frac{1}{1 - a}=\frac{1·(1 - a)^2}{(1 - a)·(1 - a)^2}=\frac{(1 - a)^2}{(1 - a)^3}$，
$\frac{3}{(a - 1)^2}=\frac{3}{(1 - a)^2}=\frac{3·(1 - a)}{(1 - a)^2·(1 - a)}=\frac{3(1 - a)}{(1 - a)^3}$，
$\frac{2}{(1 - a)^3}$无需变形。
【答案】
(1) $\frac{y(y - x)}{x(y - x)^{3}}$，$\frac{x^{2}}{x(y - x)^{3}}$；
(2) $\frac{xy}{y(y - 2)^{2}}$，$-\frac{y - 2}{y(y - 2)^{2}}$；
(3) $\frac{(1 - a)^{2}}{(1 - a)^{3}}$，$\frac{3(1 - a)}{(1 - a)^{3}}$，$\frac{2}{(1 - a)^{3}}$
【知识点】
分式的通分，因式分解
【点评】
本题考查分式通分的运算，核心是准确确定最简公分母，需注意分母中互为相反数因式的转化，以及通过因式分解简化分母来确定公分母，通分过程要保证分式值不变。
【难度系数】
0.6
4. (1) 计算:$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} =$
(2) 计算:$\frac{1}{x(x + 1)} + \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} + ··· + \frac{1}{(x + 2024)(x + 2025)}$，当$x = 1$时，求该代数式的值.
$\frac{1}{x(x + 1)}$
，$\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} =$$\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$
，$\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} =$$\frac{1}{(x + 2)(x + 3)}$
.(2) 计算:$\frac{1}{x(x + 1)} + \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} + ··· + \frac{1}{(x + 2024)(x + 2025)}$，当$x = 1$时，求该代数式的值.
答案
4. (1) $\frac{1}{x(x + 1)}$ $\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$ $\frac{1}{(x + 2)(x + 3)}$ (2) $\frac{2025}{2026}$
解析
【解析】
(1) 对分式通分计算：
$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x+1 - x}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}$；
$\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$；
$\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} = \frac{(x+3)-(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{(x+2)(x+3)}$。
(2) 根据(1)的结论裂项：
原式$=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})+(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3})+\dots+(\frac{1}{x+2024}-\frac{1}{x+2025})$
去括号后中间项抵消，得：
原式$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2025}=\frac{2025}{x(x+2025)}$
当$x=1$时，代入得：$\frac{2025}{1×(1+2025)}=\frac{2025}{2026}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{x(x + 1)}$；$\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$；$\frac{1}{(x + 2)(x + 3)}$
(2) $\frac{2025}{2026}$
【知识点】
分式的加减运算；裂项相消法
【点评】
本题考查分式的运算，通过先计算简单分式减法得出裂项规律，再利用裂项相消法简化复杂分式求和运算，关键是掌握分式通分法则和裂项相消技巧，提升运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 对分式通分计算：
$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x+1 - x}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}$；
$\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} = \frac{(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$；
$\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} = \frac{(x+3)-(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{(x+2)(x+3)}$。
(2) 根据(1)的结论裂项：
原式$=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})+(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3})+\dots+(\frac{1}{x+2024}-\frac{1}{x+2025})$
去括号后中间项抵消，得：
原式$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2025}=\frac{2025}{x(x+2025)}$
当$x=1$时，代入得：$\frac{2025}{1×(1+2025)}=\frac{2025}{2026}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{x(x + 1)}$；$\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$；$\frac{1}{(x + 2)(x + 3)}$
(2) $\frac{2025}{2026}$
【知识点】
分式的加减运算；裂项相消法
【点评】
本题考查分式的运算，通过先计算简单分式减法得出裂项规律，再利用裂项相消法简化复杂分式求和运算，关键是掌握分式通分法则和裂项相消技巧，提升运算能力。
【难度系数】
0.6
