4. 已知 $a = 3 + 2\sqrt{2}$，$b = 3 - 2\sqrt{2}$，求 $a^2b + ab^2$ 的值。

$a^{2}b + ab^{2}=ab(a + b)=(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}+3 - 2\sqrt{2})=6$

【解析】
先对原式因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$
分别计算$ab$与$a+b$的值：
$ab=(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1$
$a+b=(3 + 2\sqrt{2})+(3 - 2\sqrt{2})=6$
代入计算得：$ab(a+b)=1×6=6$
【答案】
$\boxed{6}$
【知识点】
提取公因式法、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题考查因式分解与乘法公式的综合应用，通过提取公因式简化原式，结合平方差公式快速计算，避免直接代入的繁琐运算，提升计算效率与准确性。
【难度系数】
0.8

1. 下列运算中，错误的是 ()

A.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$

B.$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
D.$\sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{2} - \sqrt{3}$

D

【解析】
逐一分析各选项：
选项A：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2×3} = \sqrt{6}$，运算正确。
选项B：对$\frac{1}{\sqrt{2}}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$，得$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，运算正确。
选项C：同类二次根式相加，系数相加，根式不变，$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (2+3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$，运算正确。
选项D：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2} = |a|$，$\sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{2} - \sqrt{3}|$，因为$\sqrt{2} ＜ \sqrt{3}$，所以$|\sqrt{2} - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，而非$\sqrt{2} - \sqrt{3}$，运算错误。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算，二次根式的性质，同类二次根式合并
【点评】
本题考查二次根式的各类运算及性质，需熟练掌握二次根式的乘法、分母有理化、同类二次根式合并的法则，尤其注意$\sqrt{a^2}=|a|$的应用，避免忽略绝对值的非负性。
【难度系数】
0.7

2. 计算:
(1) $(2 + \sqrt{5})^{2024}(2 - \sqrt{5})^{2025}$； (2) $(\sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{6})(\sqrt{3} - \sqrt{5} - \sqrt{6})$。

$(1) 2-\sqrt{5} (2) 4 - 6\sqrt{2}$

【解析】
(1) 原式=$(2 + \sqrt{5})^{2024}(2 - \sqrt{5})^{2024}(2 - \sqrt{5})$
$=[(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})]^{2024}(2 - \sqrt{5})$
$=(4 - 5)^{2024}(2 - \sqrt{5})$
$=(-1)^{2024}(2 - \sqrt{5})$
$=2 - \sqrt{5}$
(2) 原式$=[(\sqrt{3} - \sqrt{6}) + \sqrt{5}][(\sqrt{3} - \sqrt{6}) - \sqrt{5}]$
$=(\sqrt{3} - \sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2$
$=3 - 2\sqrt{18} + 6 - 5$
$=4 - 6\sqrt{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2 - \sqrt{5}}$；(2) $\boldsymbol{4 - 6\sqrt{2}}$
【知识点】
二次根式混合运算、平方差公式、积的乘方逆用
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，需灵活运用平方差公式、积的乘方逆运算等技巧，通过整体思想简化计算，提升运算效率。
【难度系数】
0.6

3. 已知 $x = (2 + \sqrt{3})^2$，$y = (2 - \sqrt{3})^2$，求代数式 $x^2 - 2xy + y^2$ 的值。

192

【解析】
首先，对代数式进行变形：
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
计算$x$和$y$的值：
$x=(2+\sqrt{3})^2=2^2+2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}$
$y=(2-\sqrt{3})^2=2^2-2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$
计算$x-y$：
$x-y=(7+4\sqrt{3})-(7-4\sqrt{3})=8\sqrt{3}$
代入变形后的式子：
$(x-y)^2=(8\sqrt{3})^2=8^2×(\sqrt{3})^2=64×3=192$
【答案】
192
【知识点】
完全平方公式逆用，二次根式的运算
【点评】
本题考查完全平方公式的逆用及二次根式的混合运算，通过将代数式变形为$(x-y)^2$可简化计算过程，运算时需注意二次根式的计算规则，避免出错。
【难度系数】
0.6

4. 阅读并回答问题:
为了化简 $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$，我们尝试找到两个数 $m$，$n$，使 $m^2 + n^2 = a$ 且 $mn = \sqrt{b}$，则可将 $a \pm 2\sqrt{b}$ 化为 $m^2 + n^2 \pm 2mn$，即 $(m \pm n)^2$，从而使得 $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ 化简。
例如，$5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} × \sqrt{3} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$，
所以 $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$。
请仿照上例化简下列根式:
(1) $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$； (2) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$。

$(1) \sqrt{5}-\sqrt{3} (2) \sqrt{3}+1$

【解析】
(1) 对被开方数进行变形：
$8 - 2\sqrt{15} = 5 + 3 - 2\sqrt{15} = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{5}×\sqrt{3} = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$
则 $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$（$\sqrt{5}＞\sqrt{3}$，结果取正）
(2) 对被开方数进行变形：
$4 + 2\sqrt{3} = 3 + 1 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 + 1^2 + 2×\sqrt{3}×1 = (\sqrt{3} + 1)^2$
则 $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$
【答案】
(1) $\sqrt{5}-\sqrt{3}$；(2) $\sqrt{3}+1$
【知识点】
二次根式化简，完全平方公式应用
【点评】
本题考查双重二次根式的化简，需类比给定示例，利用完全平方公式将被开方数转化为完全平方式，进而简化二次根式，考查学生的类比迁移能力与运算能力。
【难度系数】
0.7