2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，CD⊥AB，垂足为D. △BCD与△ABC的周长之比为().

A.1：2
B.1：3
C.1：4
D.1：5

A

3. 如图，在□ABCD中，CD = 10，F是边AB上一点，DF交AC于点E，且$\frac{AE}{EC}=\frac{2}{5}，$则$\frac{S_{△AEF}}{S_{△CDE}}=$，BF = .

$​\frac {4}{25}​$
6

4. 利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5 cm的一个等边三角形放大成边长为20 cm的等边三角形，放大前后的两个三角形的面积比为.

1：16

5. 五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，相似比为3：2.
(1) 如果五边形ABCDE的周长为72 cm，求五边形A'B'C'D'E'的周长；
(2) 如果五边形A'B'C'D'E'的面积为120 cm²，求五边形ABCDE的面积.

1：16
解：​(1)​周长之比等于相似比
∴$​C_{五边形ABCDE}$：$​​C_{五边形A'B'C'D'E'}=3$：​​2​
∵五边形$​ABCDE = 72\ \mathrm {cm}​$
∴$​C_{五边形A'BC'D'E'} = 48\ \mathrm {cm}​$
​(2)​面积之比等于相似比的平方
∴​S _{五边形ABCDE}：$​​S_{ 五边形A'B'C'D'E'}=9$：​​4​
∵$​S_{ 五边形A'B'C'D'E' }= 120\ \mathrm {cm}²​$
∴$​S _{五边形ABCDE} = 270\ \mathrm {cm}²​$

1. 如图，点A₁、A₂，点B₁、B₂，点C₁、C₂分别是△ABC的边BC、CA、AB的三等分点，若△ABC的周长为l，求六边形A₁A₂B₁B₂C₁C₂的周长.

解：∵点$​{A}_1、$$​​{A}_2，$​点$​{B}_1、$$​​{B}_2，$​
点$​{C}_1、$$​​{C}_2​$分别是​△ABC​的边​BC、​​CA、​​ AB​的三等分点
∴$​\frac {B{C}_2}{AB}=\frac {B{A}_1}{BC}=\frac {1}{3}​$
∵​∠B=∠B​
∴$​△B{C}_2{A}_1∽△BAC​$
同理可得：$​△A{B}_2{C}_1∽△ACB、$$​​△C{B}_1{A}_2∽△ CAB，$​且相似比均为​1 ： 3​
∴$​{A}_1{C}_2={B}_1{B}_2=\frac {1}{3}AC​$
$​{A}_2{B}_1={C}_1{C}_2=\frac {1}{3}AB​$
$​{C}_1{B}_2={A}_1{A}_2=\frac {1}{3}BC​$
∴$​{C}_{六边形}=\frac {2}{3}{C}_{△ABC}=\frac {2}{3}l​$

2. 如图，已知△ABC的面积为1，分别取AC、BC的中点A₁、B₁，则四边形A₁ABB₁的面积为$\frac{3}{4}，$再分别取A₁C、B₁C的中点A₂、B₂，取A₂C、B₂C的中点A₃、B₃……依次取下去. 利用所给图形，计算$\frac{3}{4}+\frac{3}{4²}+\frac{3}{4³}+…+\frac{3}{4^n}.$

解：由题意可知，​An，​​Bn​是​AC、​​BC​中最靠近点​C​的$​{2}^{n}​$等分点
则$​{S}_{四边形AnABBn}=\frac {3}{4}+\frac {3}{4²}+\frac {3}{4³}+···+\frac {3}{{4}^{n}}​$
∵​An，​​Bn​是​AC、​​BC​中最靠近点​C​的$​{2}^{n}​$等分点
∴​△ABC∽△AnBnC，​相似比为$​{2}^{n}$：​​1​
∴$​S_{△ABC} $：$​​ S_{△AnBnC}={4}^{n}$：​​1​
∴$​S_{△AnBnC} =\frac {1}{{4}^{n}}S_{△ABC} ​$
又∵$​S_{四边形AnABB}= S_{△ABC}- S_{△AnBnC}​$
∴$​S_{四边形AnABBn}=1-\frac {1}{{4}^{n}}​$
∴$​\frac {3}{4}+\frac {3}{4²}+\frac {3}{4³}+···+\frac {3}{{4}^{n}}=1-\frac {1}{{4}^{n}}​$