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1. 如图，$△ ABC$ 的顶点坐标分别是 $A(3,6)$、$B(1,3)$、$C(4,2)$。
(1) 如果将 $△ ABC$ 沿 $x$ 轴翻折得到 $△ A'B'C'$，写出 $△ A'B'C'$ 的顶点坐标；
(2) 如果将 $△ A'B'C'$ 绕点 $C'$ 按逆时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得到 $△ A''B''C''$，写出点 $A''$、$B''$ 的坐标。
(1) 如果将 $△ ABC$ 沿 $x$ 轴翻折得到 $△ A'B'C'$，写出 $△ A'B'C'$ 的顶点坐标；
(2) 如果将 $△ A'B'C'$ 绕点 $C'$ 按逆时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得到 $△ A''B''C''$，写出点 $A''$、$B''$ 的坐标。
答案
解：(1)A'(3，-6)、B'(1，-3)、
C'(4，-2)
(2)A''(8，-3)、B''(5，-5)
解析
【解析】
(1) 沿x轴翻折的点，横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数。
已知$A(3,6)$、$B(1,3)$、$C(4,2)$，可得$A'(3,-6)$，$B'(1,-3)$，$C'(4,-2)$。
(2) 根据绕点逆时针旋转$90^{\circ}$的坐标变换规则，结合$C'(4,-2)$计算：
点$A'(3,-6)$绕$C'$逆时针旋转$90^{\circ}$后，$A''(8,-3)$；
点$B'(1,-3)$绕$C'$逆时针旋转$90^{\circ}$后，$B''(5,-5)$。
【答案】
(1) $A'(3,-6)$，$B'(1,-3)$，$C'(4,-2)$；
(2) $A''(8,-3)$，$B''(5,-5)$
【知识点】
x轴翻折坐标变换；旋转坐标变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的翻折与旋转变换，掌握两种变换的坐标变化规律是解题关键。
(1) 沿x轴翻折的点，横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数。
已知$A(3,6)$、$B(1,3)$、$C(4,2)$，可得$A'(3,-6)$，$B'(1,-3)$，$C'(4,-2)$。
(2) 根据绕点逆时针旋转$90^{\circ}$的坐标变换规则，结合$C'(4,-2)$计算：
点$A'(3,-6)$绕$C'$逆时针旋转$90^{\circ}$后，$A''(8,-3)$；
点$B'(1,-3)$绕$C'$逆时针旋转$90^{\circ}$后，$B''(5,-5)$。
【答案】
(1) $A'(3,-6)$，$B'(1,-3)$，$C'(4,-2)$；
(2) $A''(8,-3)$，$B''(5,-5)$
【知识点】
x轴翻折坐标变换；旋转坐标变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的翻折与旋转变换，掌握两种变换的坐标变化规律是解题关键。
2. 在平面直角坐标系中有两条直线 $l_1$、$l_2$，直线 $l_1$ 相应的函数表达式为 $y = x - 2$。如果将图形翻折，使直线 $l_1$ 与 $l_2$ 重合，此时点 $(-1,0)$ 与点 $(0,-1)$ 也重合，求直线 $l_2$ 相应的函数表达式。
答案
解：∵翻折之后(-1，0)和(0，-1)重合
∴图形是沿y=x这条直线翻折的
设$l_{2}$：y=kx+b
在$l_{1}$上取点(0，-2)、(2，0)
点(0，-2)、(2，0)沿直线y=x翻折之后的坐标为(-2，0)、(0，2)
将点(-2，0)、(0，2)代入函数表达式得$\begin {cases}{0=-2k+b}\\{2=0×k+b}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{k=1}\\{b=2}\end {cases}$
∴直线$l_{2}$的函数表达式为y=x+2
∴图形是沿y=x这条直线翻折的
设$l_{2}$：y=kx+b
在$l_{1}$上取点(0，-2)、(2，0)
点(0，-2)、(2，0)沿直线y=x翻折之后的坐标为(-2，0)、(0，2)
将点(-2，0)、(0，2)代入函数表达式得$\begin {cases}{0=-2k+b}\\{2=0×k+b}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{k=1}\\{b=2}\end {cases}$
∴直线$l_{2}$的函数表达式为y=x+2
解析
【解析】
1. 由翻折后点$(-1,0)$与点$(0,-1)$重合，可知图形是沿直线$y=x$翻折的；
2. 设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$；
3. 在直线$l_1:y=x-2$上取两点$(0,-2)$、$(2,0)$，求出这两点关于直线$y=x$翻折后的对称点为$(-2,0)$、$(0,2)$；
4. 将对称点$(-2,0)$、$(0,2)$代入$y=kx+b$，得到方程组$\begin{cases}0=-2k+b\\2=0×k+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$；
5. 因此直线$l_2$的函数表达式为$y=x+2$。
【答案】
$y=x+2$
【知识点】
一次函数解析式求解、翻折变换性质、关于直线$y=x$对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查翻折变换的性质与一次函数解析式的确定，解题关键是先根据重合点确定翻折对称轴，再通过找直线上点的对称点，利用待定系数法求出直线$l_2$的解析式。
1. 由翻折后点$(-1,0)$与点$(0,-1)$重合，可知图形是沿直线$y=x$翻折的；
2. 设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$；
3. 在直线$l_1:y=x-2$上取两点$(0,-2)$、$(2,0)$，求出这两点关于直线$y=x$翻折后的对称点为$(-2,0)$、$(0,2)$；
4. 将对称点$(-2,0)$、$(0,2)$代入$y=kx+b$，得到方程组$\begin{cases}0=-2k+b\\2=0×k+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$；
5. 因此直线$l_2$的函数表达式为$y=x+2$。
【答案】
$y=x+2$
【知识点】
一次函数解析式求解、翻折变换性质、关于直线$y=x$对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查翻折变换的性质与一次函数解析式的确定，解题关键是先根据重合点确定翻折对称轴，再通过找直线上点的对称点，利用待定系数法求出直线$l_2$的解析式。
3. 如图，$△ ABD$、$△ ACE$ 都是等边三角形，$DC$、$BE$ 相交于点 $P$。求 $∠ EPC$ 的度数。
答案
解：∵△ABD、△ACE都是等边三角形
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°
∴∠DAC=∠BAE=∠BAC+60°
∴△ADC≌△ABE
∴∠ACD=∠AEP
∴A、E、C、P 四点共圆
∴∠EPC=∠CAE=60°
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°
∴∠DAC=∠BAE=∠BAC+60°
∴△ADC≌△ABE
∴∠ACD=∠AEP
∴A、E、C、P 四点共圆
∴∠EPC=∠CAE=60°
解析
【解析】
已知$△ABD$、$△ACE$都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：
$AD=AB$，$AC=AE$，$∠DAB=∠CAE=60°$。
由$∠DAB=∠CAE=60°$，可得$∠DAC=∠DAB+∠BAC=60°+∠BAC$，$∠BAE=∠CAE+∠BAC=60°+∠BAC$，因此$∠DAC=∠BAE$。
在$△ADC$和$△ABE$中，
$\{\begin{array}{l}AD=AB\\∠DAC=∠BAE\\AC=AE\end{array} $
根据SAS全等判定定理，可得$△ADC≌△ABE$。
由全等三角形的对应角相等，得$∠ACD=∠AEB$。
根据四点共圆的判定，可知$A$、$E$、$C$、$P$四点共圆。
根据四点共圆的性质，同弧所对的圆周角相等，可得$∠EPC=∠CAE=60°$。
【答案】
$\boldsymbol{60^{\circ}}$
【知识点】
等边三角形性质；全等三角形判定（SAS）；四点共圆性质
【点评】
本题综合考查了等边三角形、全等三角形及四点共圆的相关知识，解题关键是通过等边三角形的性质构造全等三角形，再利用四点共圆的性质快速求解角度，培养了几何综合推理能力。
已知$△ABD$、$△ACE$都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：
$AD=AB$，$AC=AE$，$∠DAB=∠CAE=60°$。
由$∠DAB=∠CAE=60°$，可得$∠DAC=∠DAB+∠BAC=60°+∠BAC$，$∠BAE=∠CAE+∠BAC=60°+∠BAC$，因此$∠DAC=∠BAE$。
在$△ADC$和$△ABE$中，
$\{\begin{array}{l}AD=AB\\∠DAC=∠BAE\\AC=AE\end{array} $
根据SAS全等判定定理，可得$△ADC≌△ABE$。
由全等三角形的对应角相等，得$∠ACD=∠AEB$。
根据四点共圆的判定，可知$A$、$E$、$C$、$P$四点共圆。
根据四点共圆的性质，同弧所对的圆周角相等，可得$∠EPC=∠CAE=60°$。
【答案】
$\boldsymbol{60^{\circ}}$
【知识点】
等边三角形性质；全等三角形判定（SAS）；四点共圆性质
【点评】
本题综合考查了等边三角形、全等三角形及四点共圆的相关知识，解题关键是通过等边三角形的性质构造全等三角形，再利用四点共圆的性质快速求解角度，培养了几何综合推理能力。
