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1. 小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图6-2-8，将两根直木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用四根直木条顺次连接A，B，C，D，A，则四边形ABCD就
是平行四边形，这种方法的直接依据是（ ）。
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
是平行四边形，这种方法的直接依据是（ ）。
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
答案
1. A
2. 如图 6-2-9， $ \Box ABCD $的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是 $ \Box ABCD $四条边上不重合的点。给出下列条件： $ \textcircled{1} $ AQ=CN， AM=CP； $ \textcircled{2} MP $ ，NQ均经过点O； $ \textcircled{3} NQ $经过点O，AQ=CN。其中能判定四边形 MNPQ是平行四边形的有_______。（填序号）
答案
2. ①②
3. 如图 6-2-10，四边形 ABCD的对角线 AC，BD交于点O，AB= CD=10，BC=AD=8，过点 O作直线 EF分别交 AB，CD于点 E， F。若 $ ∠ ACB=90° $ ，则四边形 AEFD的周长的最小值为_______。
答案
3. $22.8$
4. 如图 6-2-11 $ \textcircled{1} $ ，在 $ \Box ABCD $中，AD＞AB， $ ∠ ABC $为锐角。要在对角线 BD上找点 N，M，使四边形 ANCM为平行四边形，现有图
对角线 BD上找点 N，M，使四边形 ANCM为平行四边形，现有图 6-2-11 $ \textcircled{2} $ $ \textcircled{3} $ $ \textcircled{4} $中的甲、乙、丙三种方法，请选取其中一种方法进行证明。
对角线 BD上找点 N，M，使四边形 ANCM为平行四边形，现有图 6-2-11 $ \textcircled{2} $ $ \textcircled{3} $ $ \textcircled{4} $中的甲、乙、丙三种方法，请选取其中一种方法进行证明。
答案
4. 解：甲方法：$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AB=CD$，$AD// BC$，$AD=BC$。
$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$，$∠ ADB=∠ CBD$。
$\because O$为$BD$的中点，$BN=NO$，$OM=MD$，
$\therefore BN=\frac{1}{4}BD$，$MD=\frac{1}{4}BD$，即$BN=MD$。
在$△ ABN$和$△ CDM$中，
$\because AB=CD$，$∠ ABD=∠ CDB$，$BN=MD$，
$\therefore △ ABN≌△ CDM(\mathrm{SAS})$。$\therefore AN=CM$。
在$△ ADM$和$△ CBN$中，
$\because AD=BC$，$∠ ADB=∠ CBD$，$BN=MD$，
$\therefore △ ADM≌△ CBN(\mathrm{SAS})$。$\therefore AM=NC$。
$\therefore$四边形$ANCM$为平行四边形。
乙方法：$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AB=CD$。
$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$。
$\because AN⊥ BD$，$CM⊥ BD$，
$\therefore ∠ ANB=∠ ANM=∠ CMD=∠ CMN=90°$。
在$△ ABN$和$△ CDM$中，
$\because ∠ ABD=∠ CDB$，$∠ ANB=∠ CMD$，$AB=CD$，
$\therefore △ ABN≌△ CDM(\mathrm{AAS})$。$\therefore AN=CM$。
$\because ∠ ANM=∠ CMN=90°$，$\therefore AN// CM$。
$\therefore$四边形$ANCM$为平行四边形。
丙方法：$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AB=CD$，$AD// BC$，$AD=BC$。
$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$，$∠ ADB=∠ CBD$。
$\because AN$平分$∠ BAD$，$CM$平分$∠ BCD$，
$\therefore ∠ BAN=∠ DAN=∠ BCM=∠ DCM$。
在$△ ABN$和$△ CDM$中，
$\because ∠ ABD=∠ CDB$，$AB=CD$，$∠ BAN=∠ MCD$，
$\therefore △ ABN≌△ CDM(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AN=CM$，$BN=DM$。
在$△ ADM$和$△ CBN$中，
$\because ∠ ADB=∠ CBD$，$AD=BC$，$BN=MD$，
$\therefore △ ADM≌△ CBN(\mathrm{SAS})$。$\therefore AM=NC$。
$\therefore$四边形$ANCM$为平行四边形。
$\therefore AB// CD$，$AB=CD$，$AD// BC$，$AD=BC$。
$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$，$∠ ADB=∠ CBD$。
$\because O$为$BD$的中点，$BN=NO$，$OM=MD$，
$\therefore BN=\frac{1}{4}BD$，$MD=\frac{1}{4}BD$，即$BN=MD$。
在$△ ABN$和$△ CDM$中，
$\because AB=CD$，$∠ ABD=∠ CDB$，$BN=MD$，
$\therefore △ ABN≌△ CDM(\mathrm{SAS})$。$\therefore AN=CM$。
在$△ ADM$和$△ CBN$中，
$\because AD=BC$，$∠ ADB=∠ CBD$，$BN=MD$，
$\therefore △ ADM≌△ CBN(\mathrm{SAS})$。$\therefore AM=NC$。
$\therefore$四边形$ANCM$为平行四边形。
乙方法：$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AB=CD$。
$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$。
$\because AN⊥ BD$，$CM⊥ BD$，
$\therefore ∠ ANB=∠ ANM=∠ CMD=∠ CMN=90°$。
在$△ ABN$和$△ CDM$中，
$\because ∠ ABD=∠ CDB$，$∠ ANB=∠ CMD$，$AB=CD$，
$\therefore △ ABN≌△ CDM(\mathrm{AAS})$。$\therefore AN=CM$。
$\because ∠ ANM=∠ CMN=90°$，$\therefore AN// CM$。
$\therefore$四边形$ANCM$为平行四边形。
丙方法：$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$AB=CD$，$AD// BC$，$AD=BC$。
$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$，$∠ ADB=∠ CBD$。
$\because AN$平分$∠ BAD$，$CM$平分$∠ BCD$，
$\therefore ∠ BAN=∠ DAN=∠ BCM=∠ DCM$。
在$△ ABN$和$△ CDM$中，
$\because ∠ ABD=∠ CDB$，$AB=CD$，$∠ BAN=∠ MCD$，
$\therefore △ ABN≌△ CDM(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AN=CM$，$BN=DM$。
在$△ ADM$和$△ CBN$中，
$\because ∠ ADB=∠ CBD$，$AD=BC$，$BN=MD$，
$\therefore △ ADM≌△ CBN(\mathrm{SAS})$。$\therefore AM=NC$。
$\therefore$四边形$ANCM$为平行四边形。
