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【例2】某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按 $ 2 : 2 : 6 $ 的比例计入总分来确定学生的英语成绩，小明的口语、听力、笔试成绩分别为 $ 90 $ 分、$ 80 $ 分、$ 90 $ 分，则小明这学期的英语成绩是(
A. $ 86 $ 分
B. $ 88 $ 分
C. $ 90 $ 分
D. $ 80 $ 分
【规律方法】
利用公式法求加权平均数的思路
(1) 确定数据与权重；
(2) 直接套用加权平均数的计算公式计算.
B
)A. $ 86 $ 分
B. $ 88 $ 分
C. $ 90 $ 分
D. $ 80 $ 分
【规律方法】
利用公式法求加权平均数的思路
(1) 确定数据与权重；
(2) 直接套用加权平均数的计算公式计算.
答案
【例2】B
解析
【解析】
根据加权平均数的计算公式，先确定各成绩的权重占比：口语、听力、笔试成绩的权重分别为$\frac{2}{2+2+6}$、$\frac{2}{2+2+6}$、$\frac{6}{2+2+6}$。
代入小明的成绩计算总分：
$\begin{aligned}\mathrm{英语成绩}&=\frac{90×2 + 80×2 + 90×6}{2+2+6}\\&=\frac{180 + 160 + 540}{10}\\&=\frac{880}{10}\\&=88(\mathrm{分})\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
加权平均数的计算
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，解题关键是明确各数据对应的权重，正确运用加权平均数公式进行计算，属于基础题。
【难度系数】
0.8
根据加权平均数的计算公式，先确定各成绩的权重占比：口语、听力、笔试成绩的权重分别为$\frac{2}{2+2+6}$、$\frac{2}{2+2+6}$、$\frac{6}{2+2+6}$。
代入小明的成绩计算总分：
$\begin{aligned}\mathrm{英语成绩}&=\frac{90×2 + 80×2 + 90×6}{2+2+6}\\&=\frac{180 + 160 + 540}{10}\\&=\frac{880}{10}\\&=88(\mathrm{分})\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
加权平均数的计算
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，解题关键是明确各数据对应的权重，正确运用加权平均数公式进行计算，属于基础题。
【难度系数】
0.8
| 变式训练 |
3. 某校举办“身边的温暖故事”主题演讲比赛，其中前三名选手的成绩(单位：分)统计如下表：
若故事内容、情感表达、演讲技巧三项成绩按 $ 4 : 3 : 3 $ 的比确定选手的综合成绩，则冠军、亚军、季军分别是(
A.小清、小明、小琪
B.小清、小琪、小明
C.小琪、小明、小清
D.小琪、小清、小明
3. 某校举办“身边的温暖故事”主题演讲比赛，其中前三名选手的成绩(单位：分)统计如下表：
若故事内容、情感表达、演讲技巧三项成绩按 $ 4 : 3 : 3 $ 的比确定选手的综合成绩，则冠军、亚军、季军分别是(
C
)A.小清、小明、小琪
B.小清、小琪、小明
C.小琪、小明、小清
D.小琪、小清、小明
答案
变式训练
3.C
3.C
解析
【解析】
根据加权平均数的计算方法，分别计算三名选手的综合成绩：
1. 小琪的综合成绩：$100×\frac{4}{4+3+3}+85×\frac{3}{4+3+3}+90×\frac{3}{4+3+3}=100×0.4+85×0.3+90×0.3=40+25.5+27=92.5$（分）
2. 小清的综合成绩：$79×\frac{4}{10}+100×\frac{3}{10}+100×\frac{3}{10}=31.6+30+30=91.6$（分）
3. 小明的综合成绩：$95×\frac{4}{10}+90×\frac{3}{10}+90×\frac{3}{10}=38+27+27=92$（分）
比较成绩：$92.5＞92＞91.6$，因此冠军是小琪，亚军是小明，季军是小清。
【答案】
C
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，需根据给定权重准确计算综合成绩，通过比较成绩确定排名。
【难度系数】
0.6
根据加权平均数的计算方法，分别计算三名选手的综合成绩：
1. 小琪的综合成绩：$100×\frac{4}{4+3+3}+85×\frac{3}{4+3+3}+90×\frac{3}{4+3+3}=100×0.4+85×0.3+90×0.3=40+25.5+27=92.5$（分）
2. 小清的综合成绩：$79×\frac{4}{10}+100×\frac{3}{10}+100×\frac{3}{10}=31.6+30+30=91.6$（分）
3. 小明的综合成绩：$95×\frac{4}{10}+90×\frac{3}{10}+90×\frac{3}{10}=38+27+27=92$（分）
比较成绩：$92.5＞92＞91.6$，因此冠军是小琪，亚军是小明，季军是小清。
【答案】
C
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，需根据给定权重准确计算综合成绩，通过比较成绩确定排名。
【难度系数】
0.6
4. 某市进行了本市教育系统一年一度教师招聘考试. 本次考试采用先笔试后面试的方式进行(其中面试成绩按照模拟上课占 $ 70\% $、答辩占 $ 30\% $ 计算，并设置面试成绩最低分为 $ 60 $ 分)，总成绩按照笔试占 $ 40\% $、面试占 $ 60\% $ 计算，保留两位小数，尾数四舍五入，择优录取. 已知甲、乙、丙三名考生的各类成绩(单位：分)如表，最终被录取的是
| 考生 | 笔试 | 模拟上课 | 答辩 |
| --- | --- | --- | --- |
| 甲 | $ 90 $ | $ 60 $ | $ 50 $ |
| 乙 | $ 80 $ | $ 70 $ | $ 40 $ |
| 丙 | $ 70 $ | $ 80 $ | $ 40 $ |
丙
.| 考生 | 笔试 | 模拟上课 | 答辩 |
| --- | --- | --- | --- |
| 甲 | $ 90 $ | $ 60 $ | $ 50 $ |
| 乙 | $ 80 $ | $ 70 $ | $ 40 $ |
| 丙 | $ 70 $ | $ 80 $ | $ 40 $ |
答案
4.丙
解析
【解析】
1. 计算甲的面试成绩：$60×70\% + 50×30\% = 57$（分），$57＜60$，未达到面试最低分要求，淘汰。
2. 计算乙的面试成绩：$70×70\% + 40×30\% = 61$（分），符合要求；
乙的总成绩：$80×40\% + 61×60\% = 32 + 36.6 = 68.60$（分）。
3. 计算丙的面试成绩：$80×70\% + 40×30\% = 68$（分），符合要求；
丙的总成绩：$70×40\% + 68×60\% = 28 + 40.8 = 68.80$（分）。
比较乙和丙的总成绩，$68.80＞68.60$，因此最终被录取的是丙。
【答案】
丙
【知识点】
加权平均数的应用，百分数的实际应用
【点评】
本题考查加权平均数在实际成绩核算问题中的应用，解题时需严格按照给定权重计算成绩，同时注意面试成绩的最低分限制，需准确计算并比较结果。
【难度系数】
0.6
1. 计算甲的面试成绩：$60×70\% + 50×30\% = 57$（分），$57＜60$，未达到面试最低分要求，淘汰。
2. 计算乙的面试成绩：$70×70\% + 40×30\% = 61$（分），符合要求；
乙的总成绩：$80×40\% + 61×60\% = 32 + 36.6 = 68.60$（分）。
3. 计算丙的面试成绩：$80×70\% + 40×30\% = 68$（分），符合要求；
丙的总成绩：$70×40\% + 68×60\% = 28 + 40.8 = 68.80$（分）。
比较乙和丙的总成绩，$68.80＞68.60$，因此最终被录取的是丙。
【答案】
丙
【知识点】
加权平均数的应用，百分数的实际应用
【点评】
本题考查加权平均数在实际成绩核算问题中的应用，解题时需严格按照给定权重计算成绩，同时注意面试成绩的最低分限制，需准确计算并比较结果。
【难度系数】
0.6
【例3】设一组数据 $ x_1 $，$ x_2 $，$···$，$ x_n $ 的平均数为 $ m $，求下列各组数据的平均数：
(1) $ x_1 + 3 $，$ x_2 + 3 $，$···$，$ x_n + 3 $；
(2) $ 2x_1 $，$ 2x_2 $，$···$，$ 2x_n $.
解：
【规律方法】
平均数的性质
当一组数据 $ x_1 $，$ x_2 $，$···$，$ x_n $ 的平均数为 $ m $ 时，数据 $ kx_1 $，$ kx_2 $，$···$，$ kx_n $ 的平均数为 $ km $；数据 $ x_1 + a $，$ x_2 + a $，$···$，$ x_n + a $ 的平均数为 $ m + a $；数据 $ kx_1 + b $，$ kx_2 + b $，$···$，$ kx_n + b $ 的平均数为 $ km + b $.（$ k $，$ a $，$ b $ 均为常数）
(1) $ x_1 + 3 $，$ x_2 + 3 $，$···$，$ x_n + 3 $；
(2) $ 2x_1 $，$ 2x_2 $，$···$，$ 2x_n $.
解：
【规律方法】
平均数的性质
当一组数据 $ x_1 $，$ x_2 $，$···$，$ x_n $ 的平均数为 $ m $ 时，数据 $ kx_1 $，$ kx_2 $，$···$，$ kx_n $ 的平均数为 $ km $；数据 $ x_1 + a $，$ x_2 + a $，$···$，$ x_n + a $ 的平均数为 $ m + a $；数据 $ kx_1 + b $，$ kx_2 + b $，$···$，$ kx_n + b $ 的平均数为 $ km + b $.（$ k $，$ a $，$ b $ 均为常数）
答案
【例3】解：(1)$x_{1}+3,x_{2}+3,···,x_{n}+3$的平均数为$m+3$。
(2)$2x_{1},2x_{2},···,2x_{n}$的平均数为$2m$。
(2)$2x_{1},2x_{2},···,2x_{n}$的平均数为$2m$。
解析
【解析】
已知数据$x_1$，$x_2$，$···$，$x_n$的平均数为$m$，即$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=m$。
(1) 对于数据$x_1 + 3$，$x_2 + 3$，$···$，$x_n + 3$，其平均数为：
$\frac{(x_1+3)+(x_2+3)+\dots+(x_n+3)}{n}=\frac{(x_1+x_2+\dots+x_n)+3n}{n}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+3=m+3$；
(2) 对于数据$2x_1$，$2x_2$，$···$，$2x_n$，其平均数为：
$\frac{2x_1+2x_2+\dots+2x_n}{n}=2×\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=2m$。
【答案】
(1) $m+3$；(2) $2m$
【知识点】
平均数的性质、平均数的计算
【点评】
本题考查平均数性质的理解与应用，通过具体的数据变换，帮助掌握平均数随原数据线性变换的规律，夯实统计基础。
【难度系数】
0.8
已知数据$x_1$，$x_2$，$···$，$x_n$的平均数为$m$，即$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=m$。
(1) 对于数据$x_1 + 3$，$x_2 + 3$，$···$，$x_n + 3$，其平均数为：
$\frac{(x_1+3)+(x_2+3)+\dots+(x_n+3)}{n}=\frac{(x_1+x_2+\dots+x_n)+3n}{n}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+3=m+3$；
(2) 对于数据$2x_1$，$2x_2$，$···$，$2x_n$，其平均数为：
$\frac{2x_1+2x_2+\dots+2x_n}{n}=2×\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=2m$。
【答案】
(1) $m+3$；(2) $2m$
【知识点】
平均数的性质、平均数的计算
【点评】
本题考查平均数性质的理解与应用，通过具体的数据变换，帮助掌握平均数随原数据线性变换的规律，夯实统计基础。
【难度系数】
0.8
| 变式训练 |
5. 已知数据 $ x_1 $，$ x_2 $，$···$，$ x_n $ 的平均数是 $ a $，数据 $ y_1 $，$ y_2 $，$···$，$ y_n $ 的平均数是 $ b $，求数据 $ 2x_1 + 3y_1 $，$ 2x_2 + 3y_2 $，$···$，$ 2x_n + 3y_n $ 的平均数.
5. 已知数据 $ x_1 $，$ x_2 $，$···$，$ x_n $ 的平均数是 $ a $，数据 $ y_1 $，$ y_2 $，$···$，$ y_n $ 的平均数是 $ b $，求数据 $ 2x_1 + 3y_1 $，$ 2x_2 + 3y_2 $，$···$，$ 2x_n + 3y_n $ 的平均数.
答案
变式训练
5.解：$2a+3b$。
5.解：$2a+3b$。
解析
【解析】
根据平均数的定义：
因为数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数是$a$，所以$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=a$，即$x_1+x_2+\dots+x_n=na$；
同理，数据$y_1,y_2,\dots,y_n$的平均数是$b$，则$y_1+y_2+\dots+y_n=nb$。
新数据$2x_1+3y_1,2x_2+3y_2,\dots,2x_n+3y_n$的平均数为：
$\begin{aligned}&\frac{(2x_1+3y_1)+(2x_2+3y_2)+\dots+(2x_n+3y_n)}{n}\\=&\frac{2(x_1+x_2+\dots+x_n)+3(y_1+y_2+\dots+y_n)}{n}\\=&\frac{2na+3nb}{n}\\=&2a+3b\end{aligned}$
【答案】
$2a+3b$
【知识点】
平均数的定义、平均数的运算性质
【点评】
本题考查平均数的定义及运算性质的应用，通过整体代入的方法简化计算，注重对基础概念的理解与运用。
【难度系数】
0.8
根据平均数的定义：
因为数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数是$a$，所以$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=a$，即$x_1+x_2+\dots+x_n=na$；
同理，数据$y_1,y_2,\dots,y_n$的平均数是$b$，则$y_1+y_2+\dots+y_n=nb$。
新数据$2x_1+3y_1,2x_2+3y_2,\dots,2x_n+3y_n$的平均数为：
$\begin{aligned}&\frac{(2x_1+3y_1)+(2x_2+3y_2)+\dots+(2x_n+3y_n)}{n}\\=&\frac{2(x_1+x_2+\dots+x_n)+3(y_1+y_2+\dots+y_n)}{n}\\=&\frac{2na+3nb}{n}\\=&2a+3b\end{aligned}$
【答案】
$2a+3b$
【知识点】
平均数的定义、平均数的运算性质
【点评】
本题考查平均数的定义及运算性质的应用，通过整体代入的方法简化计算，注重对基础概念的理解与运用。
【难度系数】
0.8
