1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$。下列条件中，不能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的是()


A.AB=CD,AD=BC
B.AB//DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AD//BC,AD=BC

B

【解析】
- 选项A：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
因为$AB = CD$，$AD = BC$，满足两组对边分别相等，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
- 选项B：
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。
例如等腰梯形，它满足一组对边平行（上底和下底平行），另一组对边相等（两腰相等），但不是平行四边形。
所以仅$AB// DC$，$AD = BC$不能判定四边形$ABCD$是平行四边形。
- 选项C：
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
因为$AO = CO$，$BO = DO$，满足对角线互相平分，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
- 选项D：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
因为$AD// BC$，$AD = BC$，满足一组对边平行且相等，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定、等腰梯形的性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定定理，需要学生准确理解和掌握不同判定条件的应用，通过对每个选项的分析，判断是否符合平行四边形的判定条件。
【难度系数】
0.6

2. 如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$，$F$ 是对角线 $AC$ 上的两点。给出下列四个条件：① $AE = CF$；② $DE = BF$；③ $∠ ADE=∠ CBF$；④ $∠ ABE=∠ CDF$。其中能判定四边形 $DEBF$ 是平行四边形的有(填序号)。

①③④

3. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$DE// AC$，$CE// BD$。如果 $AC = 2$，$BD = 3$，那么四边形 $OCED$ 的周长是________。

5

【解析】
因为$DE// AC$，$CE// BD$，所以四边形$OCED$是平行四边形。
又因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，可得$OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$。
已知$AC = 2$，$BD = 3$，则$OC=\frac{1}{2}×2 = 1$，$OD=\frac{1}{2}×3 = 1.5$。
由于平行四边形$OCED$的邻边$OC$与$OD$分别为$1$和$1.5$，根据平行四边形周长公式$C = 2(a + b)$（$a$、$b$为邻边），可得四边形$OCED$的周长为$2×(1 + 1.5)=5$。
【答案】
$5$

4. 已知：如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$，$F$ 是对角线 $BD$ 上的两点，且 $DF = BE$。
求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形。

证明：
如图，连接AC,∠BD于点O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC,OB=OD
∵DF=BE
∴DF-OD=BE-OB，即OF=OE
∴四边形AECF是平行四边形

5. 提升题
如图，用硬纸板剪一个平行四边形 $ABCD$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，用大头针在点 $O$ 处将一根平放在平行四边形 $ABCD$ 上的细直木条固定，并使细直木条可以绕点 $O$ 转动。拨动细直木条，可随意停留在任意位置，细直木条与$□ ABCD$ 的边 $AD$，$BC$ 分别相交于点 $E$，$F$。
(1) 请判断线段 $OE$ 与 $OF$ 是否始终相等，并说明理由。
(2) 连接 $AF$，$CE$，以 $A$，$E$，$C$，$F$ 为顶点的四边形是平行四边形吗？为什么？

解：（1）OE与OF始终相等。理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,OA=OC
∴∠AOE=∠COF
又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴OE=OF
（2）四边形是AECF平行四边形。理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
由（1）得OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形