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1. 常见的解决问题的策略有()、()、()、()。
答案
画图、列表、猜想与尝试、从特例开始寻找规律
解析
北师大版数学六年级下册“解决问题的策略(1)”中常见的解决问题策略包括画图、列表、猜想与尝试、从特例开始寻找规律等。
2. 用分数表示下列各图中的涂色部分
$\frac{(\ )}{(\ )}$ $\frac{(\ )}{(\ )}$ $\frac{(\ )}{(\ )}$
$\frac{(\ )}{(\ )}$ $\frac{(\ )}{(\ )}$ $\frac{(\ )}{(\ )}$
答案
1/4，1/2，9/16
解析
第一个图：将圆内涂色部分通过旋转平移，可拼成一个扇形，占整个圆的1/4；第二个图：长方形内左侧涂色半圆与右侧空白半圆半径相同，平移后涂色部分占长方形面积的1/2；第三个图：4×4网格共16个小格，涂色部分通过数格（满格5个，半格8个，8个半格合4满格）共9格，占9/16。
3. 求下列图形的周长
答案
64厘米；56.52厘米
解析
第一个图形周长：
通过平移法将不规则图形转化为长方形，长20厘米，宽12厘米。
周长 = 2×(长+宽) = 2×(20+12) = 64厘米。
第二个图形周长：
大半圆直径18cm，其弧长 = (π×18)/2 = 9π；下方小半圆直径之和为18cm，弧长之和 = π×18/2 = 9π。
总周长 = 9π + 9π = 18π ≈ 18×3.14 = 56.52厘米。
通过平移法将不规则图形转化为长方形，长20厘米，宽12厘米。
周长 = 2×(长+宽) = 2×(20+12) = 64厘米。
第二个图形周长：
大半圆直径18cm，其弧长 = (π×18)/2 = 9π；下方小半圆直径之和为18cm，弧长之和 = π×18/2 = 9π。
总周长 = 9π + 9π = 18π ≈ 18×3.14 = 56.52厘米。
4. 用画图法帮助解决问题
(1) 六(1)班有 55 人，有 15 人参加了科技兴趣小组，有 22 人参加了数学兴趣小组，有 6 人两个小组都参加。两个兴趣小组都不参加的有多少人?
(2) 一个高为 5cm 的圆柱，如果它的高增加 3cm，那么它的表面积就增加 18.84cm²。原来圆柱的体积是多少?
(3) 一把钥匙只能配一把锁。现有 9 把钥匙和 9 把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能将全部锁与钥匙相匹配?
(1) 六(1)班有 55 人，有 15 人参加了科技兴趣小组，有 22 人参加了数学兴趣小组，有 6 人两个小组都参加。两个兴趣小组都不参加的有多少人?
(2) 一个高为 5cm 的圆柱，如果它的高增加 3cm，那么它的表面积就增加 18.84cm²。原来圆柱的体积是多少?
(3) 一把钥匙只能配一把锁。现有 9 把钥匙和 9 把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能将全部锁与钥匙相匹配?
答案
(1)
用两个相交的圆表示参加科技兴趣小组和数学兴趣小组的同学，相交部分为两个小组都参加的 6 人。
参加科技兴趣小组的$15$人中，只参加科技兴趣小组的有$15 - 6 = 9$人；
参加数学兴趣小组的$22$人中，只参加数学兴趣小组的有$22 - 6 = 16$人。
那么参加兴趣小组的总人数为$9 + 16 + 6 = 31$人。
六(1)班总人数为$55$人，所以两个兴趣小组都不参加的人数为$55 - 31 = 24$人。
(2)
圆柱高增加$3cm$，表面积增加的是侧面积，侧面积公式为$S = 2π rh$（$r$为底面半径，$h$为高）。
已知高增加$3cm$，表面积增加$18.84cm^2$，则$2π r×3 = 18.84$，
$r=\frac{18.84÷3}{2π}=\frac{6.28}{2×3.14}=1cm$。
原来圆柱体积公式为$V=π r^2h$，$h = 5cm$，$r = 1cm$，
$V = 3.14×1^2×5 = 15.7cm^3$。
(3)
开第一把锁时，如果不合适，要试$8$次，最后一把钥匙不用试了，所以最多要试$8$次；
开第二把锁时，最多要试$7$次；
开第三把锁时，最多要试$6$次；
$···$
开第八把锁时，最多要试$1$次；
最后一把锁不用试了。
所以最多要试的次数为：
$8 + 7+6 + 5+4 + 3+2 + 1=\frac{8×(8 + 1)}{2}=36$（次）
综上，答案依次为：(1)$24$人；(2)$15.7cm^3$；(3)$36$次。
用两个相交的圆表示参加科技兴趣小组和数学兴趣小组的同学，相交部分为两个小组都参加的 6 人。
参加科技兴趣小组的$15$人中，只参加科技兴趣小组的有$15 - 6 = 9$人；
参加数学兴趣小组的$22$人中，只参加数学兴趣小组的有$22 - 6 = 16$人。
那么参加兴趣小组的总人数为$9 + 16 + 6 = 31$人。
六(1)班总人数为$55$人，所以两个兴趣小组都不参加的人数为$55 - 31 = 24$人。
(2)
圆柱高增加$3cm$，表面积增加的是侧面积，侧面积公式为$S = 2π rh$（$r$为底面半径，$h$为高）。
已知高增加$3cm$，表面积增加$18.84cm^2$，则$2π r×3 = 18.84$，
$r=\frac{18.84÷3}{2π}=\frac{6.28}{2×3.14}=1cm$。
原来圆柱体积公式为$V=π r^2h$，$h = 5cm$，$r = 1cm$，
$V = 3.14×1^2×5 = 15.7cm^3$。
(3)
开第一把锁时，如果不合适，要试$8$次，最后一把钥匙不用试了，所以最多要试$8$次；
开第二把锁时，最多要试$7$次；
开第三把锁时，最多要试$6$次；
$···$
开第八把锁时，最多要试$1$次；
最后一把锁不用试了。
所以最多要试的次数为：
$8 + 7+6 + 5+4 + 3+2 + 1=\frac{8×(8 + 1)}{2}=36$（次）
综上，答案依次为：(1)$24$人；(2)$15.7cm^3$；(3)$36$次。
解析
【分析】
1. 第(1)题：这是容斥原理的应用，用韦恩图（两个相交的圆）可清晰区分各部分人数。解题思路是先求出至少参加一个兴趣小组的人数，再用班级总人数减去该人数，得到两个小组都不参加的人数。需先算出只参加科技小组、只参加数学小组的人数，再加上都参加的人数，得到参加小组的总人数。
2. 第(2)题：圆柱高增加时，上下底面积不变，表面积增加的部分是新增高度对应的侧面积。根据侧面积公式可求出底面半径，再代入圆柱体积公式计算原体积。
3. 第(3)题：属于最不利原则的应用，开每把锁时，最多试到倒数第二把钥匙即可确定匹配的钥匙。第一把锁最多试8次，第二把最多试7次……第八把锁最多试1次，第九把锁无需试，将这些次数相加即为最多试开次数，可利用等差数列求和公式计算。
【解析】
(1) 画图：画两个相交的圆，分别代表参加科技兴趣小组和数学兴趣小组的同学，相交部分为两个小组都参加的6人。
只参加科技兴趣小组的人数：$15 - 6 = 9$（人）
只参加数学兴趣小组的人数：$22 - 6 = 16$（人）
参加至少一个兴趣小组的总人数：$9 + 16 + 6 = 31$（人）
两个兴趣小组都不参加的人数：$55 - 31 = 24$（人）
(2) 圆柱高增加3cm，表面积增加的是高3cm的圆柱侧面积。
由圆柱侧面积公式$S=2π rh$，可得底面半径$r$：
$r = \frac{18.84}{3×2×3.14} = 1$（cm）
原圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数据：
$V = 3.14×1^2×5 = 15.7$（$cm^3$）
(3) 按最不利情况分析：
开第1把锁最多试8次，开第2把锁最多试7次……开第8把锁最多试1次，第9把锁无需试。
最多试开次数：$8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = \frac{(8+1)×8}{2} = 36$（次）
【答案】
(1) 24人；(2) $15.7cm^3$；(3) 36次
【知识点】
容斥原理；圆柱的侧面积与体积；最不利原则（等差数列求和）
【点评】
本题三个小题分别考查了不同的数学方法，画图法能直观梳理数量关系：容斥原理需注意重复部分的去重处理；圆柱问题要准确判断表面积增加的对应部分；锁钥匹配问题需结合最不利原则分析累加次数，整体锻炼了逻辑思维和公式运用能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)题：这是容斥原理的应用，用韦恩图（两个相交的圆）可清晰区分各部分人数。解题思路是先求出至少参加一个兴趣小组的人数，再用班级总人数减去该人数，得到两个小组都不参加的人数。需先算出只参加科技小组、只参加数学小组的人数，再加上都参加的人数，得到参加小组的总人数。
2. 第(2)题：圆柱高增加时，上下底面积不变，表面积增加的部分是新增高度对应的侧面积。根据侧面积公式可求出底面半径，再代入圆柱体积公式计算原体积。
3. 第(3)题：属于最不利原则的应用，开每把锁时，最多试到倒数第二把钥匙即可确定匹配的钥匙。第一把锁最多试8次，第二把最多试7次……第八把锁最多试1次，第九把锁无需试，将这些次数相加即为最多试开次数，可利用等差数列求和公式计算。
【解析】
(1) 画图：画两个相交的圆，分别代表参加科技兴趣小组和数学兴趣小组的同学，相交部分为两个小组都参加的6人。
只参加科技兴趣小组的人数：$15 - 6 = 9$（人）
只参加数学兴趣小组的人数：$22 - 6 = 16$（人）
参加至少一个兴趣小组的总人数：$9 + 16 + 6 = 31$（人）
两个兴趣小组都不参加的人数：$55 - 31 = 24$（人）
(2) 圆柱高增加3cm，表面积增加的是高3cm的圆柱侧面积。
由圆柱侧面积公式$S=2π rh$，可得底面半径$r$：
$r = \frac{18.84}{3×2×3.14} = 1$（cm）
原圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数据：
$V = 3.14×1^2×5 = 15.7$（$cm^3$）
(3) 按最不利情况分析：
开第1把锁最多试8次，开第2把锁最多试7次……开第8把锁最多试1次，第9把锁无需试。
最多试开次数：$8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = \frac{(8+1)×8}{2} = 36$（次）
【答案】
(1) 24人；(2) $15.7cm^3$；(3) 36次
【知识点】
容斥原理；圆柱的侧面积与体积；最不利原则（等差数列求和）
【点评】
本题三个小题分别考查了不同的数学方法，画图法能直观梳理数量关系：容斥原理需注意重复部分的去重处理；圆柱问题要准确判断表面积增加的对应部分；锁钥匹配问题需结合最不利原则分析累加次数，整体锻炼了逻辑思维和公式运用能力。
【难度系数】
0.6
5. 将 2 升水倒入下图(单位:厘米)的两个长方体水槽中，使里面水的高度相等，这个高度是多少厘米?
答案
2升=2000立方厘米
设水的高度为h厘米。
第一个水槽底面积：12×10=120（平方厘米）
第二个水槽底面积：8×5=40（平方厘米）
两个水槽水的体积之和为2000立方厘米，可得方程：
120h + 40h = 2000
160h = 2000
h = 2000÷160
h=12.5
答：这个高度是12.5厘米。
设水的高度为h厘米。
第一个水槽底面积：12×10=120（平方厘米）
第二个水槽底面积：8×5=40（平方厘米）
两个水槽水的体积之和为2000立方厘米，可得方程：
120h + 40h = 2000
160h = 2000
h = 2000÷160
h=12.5
答：这个高度是12.5厘米。
解析
【分析】
首先要进行单位换算，将升转换为立方厘米，统一体积单位。题目要求两个水槽里水的高度相等，我们可以设这个高度为$ h $厘米。根据长方体体积公式“体积=底面积×高”，先分别计算出两个水槽的底面积，再结合两个水槽中水的体积之和等于2000立方厘米（即2升水的体积）这一等量关系，列出方程求解即可。
【解析】
1. 单位换算：
2升 = 2000立方厘米
2. 设未知数：
设水的高度为$ h $厘米。
3. 计算两个水槽的底面积：
第一个水槽底面积：$ 12×10 = 120 $（平方厘米）
第二个水槽底面积：$ 8×5 = 40 $（平方厘米）
4. 根据体积和列方程并求解：
两个水槽中水的体积之和为2000立方厘米，据此列方程：
$ 120h + 40h = 2000 $
合并同类项得：$ 160h = 2000 $
求解得：$ h = 2000÷160 = 12.5 $
答：这个高度是12.5厘米。
【答案】
12.5厘米
【知识点】
长方体体积计算、列方程解应用题、体积单位换算
【点评】
本题考查长方体体积公式的实际应用，解题关键是先统一单位，再利用方程思想，根据总水量等于两个水槽内水的体积之和建立等量关系求解，既考查了对体积公式的掌握，也锻炼了运用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
首先要进行单位换算，将升转换为立方厘米，统一体积单位。题目要求两个水槽里水的高度相等，我们可以设这个高度为$ h $厘米。根据长方体体积公式“体积=底面积×高”，先分别计算出两个水槽的底面积，再结合两个水槽中水的体积之和等于2000立方厘米（即2升水的体积）这一等量关系，列出方程求解即可。
【解析】
1. 单位换算：
2升 = 2000立方厘米
2. 设未知数：
设水的高度为$ h $厘米。
3. 计算两个水槽的底面积：
第一个水槽底面积：$ 12×10 = 120 $（平方厘米）
第二个水槽底面积：$ 8×5 = 40 $（平方厘米）
4. 根据体积和列方程并求解：
两个水槽中水的体积之和为2000立方厘米，据此列方程：
$ 120h + 40h = 2000 $
合并同类项得：$ 160h = 2000 $
求解得：$ h = 2000÷160 = 12.5 $
答：这个高度是12.5厘米。
【答案】
12.5厘米
【知识点】
长方体体积计算、列方程解应用题、体积单位换算
【点评】
本题考查长方体体积公式的实际应用，解题关键是先统一单位，再利用方程思想，根据总水量等于两个水槽内水的体积之和建立等量关系求解，既考查了对体积公式的掌握，也锻炼了运用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
