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【变式 3】若$\begin{cases}x + y = 7, \\ 3x - 5y = -3,\end{cases}$则 $3(x + y) - (3x - 5y)$的值是 ______ 。
答案
24
解析
已知$\begin{cases}x + y = 7 \\ 3x - 5y = -3\end{cases}$，将$x + y = 7$和$3x - 5y = -3$代入$3(x + y) - (3x - 5y)$，得$3×7 - (-3) = 21 + 3 = 24$。
【变式 4】用加减法解二元一次方程组$\begin{cases}4m + 5n = 7,① \\ 5m - 4n = -22.②\end{cases}$
答案
①×4得：
$16m + 20n = 28$ ③
②×5得：
$25m - 20n = -110$ ④
③+④得：
$16m+25m+20n - 20n=28-110$
$41m = -82$
$m = -2$
把$m = -2$代入①得：
$4×(-2)+5n = 7$
$-8 + 5n = 7$
$5n = 15$
$n = 3$
所以，方程组的解为$\begin{cases}m = -2 \\ n = 3 \end{cases}$。
$16m + 20n = 28$ ③
②×5得：
$25m - 20n = -110$ ④
③+④得：
$16m+25m+20n - 20n=28-110$
$41m = -82$
$m = -2$
把$m = -2$代入①得：
$4×(-2)+5n = 7$
$-8 + 5n = 7$
$5n = 15$
$n = 3$
所以，方程组的解为$\begin{cases}m = -2 \\ n = 3 \end{cases}$。
【例 2】(数学文化)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种 6 头 4 脚的兽与一种 4 头 2 脚的鸟，若兽与鸟共有 76 个头与 46 只脚，问兽、鸟各有多少？根据译文，解决下列问题：
(1) 设兽有 $x$ 只，鸟有 $y$ 只，可列方程组为；
(2) 兽、鸟各有多少只？
(1) 设兽有 $x$ 只，鸟有 $y$ 只，可列方程组为；
(2) 兽、鸟各有多少只？
答案
(1) 根据题意，可列方程组：
$\begin{cases}6x + 4y = 76, \\4x + 2y = 46.\end{cases}$
(2)
$\begin{cases}6x + 4y = 76 \quad (①), \\4x + 2y = 46 \quad (②).\end{cases}$
$② × 2$得：
$8x + 4y = 92 \quad (③)$，
$③ - ①$得：
$2x = 16$，
解得$x = 8$。
把$x = 8$代入$②$得：
$4 × 8 + 2y = 46$，
$32 + 2y = 46$，
$2y = 14$，
解得$y = 7$，
$\begin{cases}x = 8, \\y = 7.\end{cases}$
答：兽有$8$只，鸟有$7$只。
$\begin{cases}6x + 4y = 76, \\4x + 2y = 46.\end{cases}$
(2)
$\begin{cases}6x + 4y = 76 \quad (①), \\4x + 2y = 46 \quad (②).\end{cases}$
$② × 2$得：
$8x + 4y = 92 \quad (③)$，
$③ - ①$得：
$2x = 16$，
解得$x = 8$。
把$x = 8$代入$②$得：
$4 × 8 + 2y = 46$，
$32 + 2y = 46$，
$2y = 14$，
解得$y = 7$，
$\begin{cases}x = 8, \\y = 7.\end{cases}$
答：兽有$8$只，鸟有$7$只。
【变式 5】下面 3 个平衡的天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为g。
答案
10
解析
设△的质量为x g，□的质量为y g。根据前两个天平平衡可得：
$\begin{cases}x + y = 6 \\x + 2y = 8\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$(x + 2y) - (x + y) = 8 - 6$，得$y = 2$。将$y = 2$代入$x + y = 6$，得$x = 4$。第三个天平左盘为$2x + y$，代入$x = 4$，$y = 2$，得$2×4 + 2 = 10$。
$\begin{cases}x + y = 6 \\x + 2y = 8\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：$(x + 2y) - (x + y) = 8 - 6$，得$y = 2$。将$y = 2$代入$x + y = 6$，得$x = 4$。第三个天平左盘为$2x + y$，代入$x = 4$，$y = 2$，得$2×4 + 2 = 10$。
【变式 6】小华和明明一起到文具店去买文具，小华买了 5 支中性笔和 2 本笔记本共 20 元，明明买了 3 支中性笔和 4 本笔记本共 26 元，每支中性笔和每本笔记本各多少元？
答案
解：设每支中性笔$x$元，每本笔记本$y$元。
根据题意，得$\begin{cases}5x + 2y = 20 \\ 3x + 4y = 26\end{cases}$
$①×2$，得$10x + 4y = 40$ $③$
$③ - ②$，得$7x = 14$，解得$x = 2$
把$x = 2$代入$①$，得$5×2 + 2y = 20$，解得$y = 5$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 5\end{cases}$
答：每支中性笔2元，每本笔记本5元。
根据题意，得$\begin{cases}5x + 2y = 20 \\ 3x + 4y = 26\end{cases}$
$①×2$，得$10x + 4y = 40$ $③$
$③ - ②$，得$7x = 14$，解得$x = 2$
把$x = 2$代入$①$，得$5×2 + 2y = 20$，解得$y = 5$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 5\end{cases}$
答：每支中性笔2元，每本笔记本5元。
1. 小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组$\begin{cases}5x - 2y = 4,① \\ 2x + 3y = 9②\end{cases}$时，利用 ①×$a$ + ②×$b$ 消去 $x$，则 $a$，$b$ 的值可能是( )。
A.$a = 2$，$b = 5$
B.$a = 3$，$b = 2$
C.$a = -3$，$b = 2$
D.$a = 2$，$b = -5$
A.$a = 2$，$b = 5$
B.$a = 3$，$b = 2$
C.$a = -3$，$b = 2$
D.$a = 2$，$b = -5$
答案
D
解析
要消去$x$，需使$5a + 2b = 0$。
A选项：$5×2 + 2×5 = 20 ≠ 0$；
B选项：$5×3 + 2×2 = 19 ≠ 0$；
C选项：$5×(-3) + 2×2 = -11 ≠ 0$；
D选项：$5×2 + 2×(-5) = 0$。
A选项：$5×2 + 2×5 = 20 ≠ 0$；
B选项：$5×3 + 2×2 = 19 ≠ 0$；
C选项：$5×(-3) + 2×2 = -11 ≠ 0$；
D选项：$5×2 + 2×(-5) = 0$。
2. 利用加减消元法解方程组$\begin{cases}2x + 5y = -9,① \\ 4x - 3y = 6②\end{cases}$时，下列做法正确的是( )。
A.要消去 $y$，可以①×3 - ②×5
B.要消去 $x$，可以①×2 - ②
C.要消去 $y$，可以①×5 + ②×3
D.要消去 $x$，可以①×2 + ②
A.要消去 $y$，可以①×3 - ②×5
B.要消去 $x$，可以①×2 - ②
C.要消去 $y$，可以①×5 + ②×3
D.要消去 $x$，可以①×2 + ②
答案
B
解析
要消去$x$，①式中$x$的系数为$2$，②式中$x$的系数为$4$，①×2得$4x + 10y = -18$，再减去②式$4x - 3y = 6$，可消去$x$，即①×2 - ②；要消去$y$，①式中$y$的系数为$5$，②式中$y$的系数为$-3$，①×3得$6x + 15y = -27$，②×5得$20x - 15y = 30$，应①×3 + ②×5消去$y$。选项A、C、D错误，B正确。
3. 已知 $a$，$b$ 满足方程组$\begin{cases}3a + 2b = 4, \\ 2a + 3b = 6,\end{cases}$则 $a + b$ 的值为( )。
A.2
B.4
C.-2
D.-4
A.2
B.4
C.-2
D.-4
答案
A
解析
$\begin{cases}3a + 2b = 4 &① \\ 2a + 3b = 6 &②\end{cases}$
①+②，得$5a + 5b = 10$
两边同时除以5，得$a + b = 2$
①+②，得$5a + 5b = 10$
两边同时除以5，得$a + b = 2$
