第 2 课时 算术平方根
课前预习
1. 算术平方根
(1) 定义：正数 $ a $ 有两个平方根，其中正的平方根 $ \sqrt{a} $ 叫作 $ a $ 的；
(2) 表示方法：正数 $ a $ 的算术平方根记为“$ \sqrt{a} $”，读作“根号 $ a $”，$ a $ 叫作被开方数。
归纳总结：①规定：$ 0 $ 的算术平方根是，算术平方根是本身的数有和；②正数有个算术平方根，负数算术平方根；③算术平方根 $ \sqrt{a} $ 具有双重非负性：$ a $ 大于或等于 $ 0 $ 及 $ \sqrt{a} $ 大于或等于 $ 0 $。
2. 无限不循环小数
无限不循环小数的小数位数，且小数部分。

1. （1）算术平方根
归纳总结：①$0$；$0$；$1$ ②一；没有
2. 无限；不循环

【例 1】求下列各数的算术平方根：
(1) $ 144 $； (2) $ 6\frac{1}{4} $； (3) $ -(-3) $。
(1) ①因为求一个非负数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的，所以可以借助平方运算求一个数的算术平方根；
②当被开方数为带分数或其中含有运算时，应先将其化为假分数或进行整理，再求其算术平方根；
③对于开方开不尽的数，求其算术平方根时，直接根据定义进行表示，如 $ 5 $ 的算术平方根是 $ \sqrt{5} $。
(2) 一个正数越大，其算术平方根也就越大。

(1)
因为$12^{2}=144$，根据算术平方根的定义，若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^{2}=a$，那么这个数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。
所以$144$的算术平方根为$\sqrt{144}=12$。
(2)
先将$6\frac{1}{4}$化为假分数，$6\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$。
因为$(\frac{5}{2})^{2}=\frac{25}{4}$，所以$\frac{25}{4}$的算术平方根为$\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。
(3)
先化简$-(-3)=3$。
$3$的算术平方根为$\sqrt{3}$。
综上，答案依次为：(1)$12$；(2)$\frac{5}{2}$；(3)$\sqrt{3}$。

【变式 1】$ \frac{9}{16} $ 的算术平方根是()。

A.$ -\frac{3}{4} $
B.$ \pm\frac{3}{4} $
C.$ \frac{3}{4} $
D.$ \frac{81}{256} $

C

根据算术平方根的定义，一个非负数$x$的算术平方根是满足$y^2 = x$的非负数$y$。
因为$(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$，且$\frac{3}{4} ＞ 0$，
所以$\frac{9}{16}$的算术平方根是$\frac{3}{4}$。

【变式 2】$ \sqrt{36} $ 的算术平方根是。

$\sqrt{6}$（或填具体书写时的根式形式答案框对应的（这里按实际答题卡填写形式要求）理解为填写$\sqrt{6}$相关标准格式，因本题是填空形式，按题目要求直接给结果）标准书写答案处填$\sqrt{6}$对应本题答案无选项形式，若按题目要求框架（虽有歧义但依题意）这里应明确结果为$\sqrt{6}$ 。 （若按照给出答案形式框架，此处明确填写表示结果的非选择题答案形式）$\sqrt{6}$ 。

首先，根据平方根的定义，求出$ \sqrt{36} $的值，因为$6^2 = 36$，所以$ \sqrt{36}=6$。
然后，再求$6$的算术平方根，设$6$的算术平方根为$x$（$x＞0$），即$x^2 = 6$，所以$x=\sqrt{6}$。

【例 2】填空：
(1) 若 $ |a + 3| = 0 $，则 $ a = $；
(2) 若 $ (m - 7)^2 = 0 $，则 $ m = $；
(3) 若 $ \sqrt{a - 5} = 0 $，则 $ a = $；
(4) 若 $ |a - 3| + \sqrt{b + 4} = 0 $，则代数式 $ (a + b)^{2025} = $。

(1) $-3$
(2) $7$
(3) $5$
(4) $-1$

(1) 由于绝对值的性质，若 $|a + 3| = 0$，则 $a + 3 = 0$，解得 $a = -3$。
(2) 由于平方的性质，若 $(m - 7)^2 = 0$，则 $m - 7 = 0$，解得 $m = 7$。
(3) 由于算术平方根的性质，若 $\sqrt{a - 5} = 0$，则 $a - 5 = 0$，解得 $a = 5$。
(4) 由于绝对值和算术平方根的非负性，若 $|a - 3| + \sqrt{b + 4} = 0$，则 $a - 3 = 0$ 和 $b + 4 = 0$ 同时成立，解得 $a = 3$，$b = -4$。
因此，$(a + b)^{2025} = (3 - 4)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$（由于2025是奇数，所以结果为-1，但题目要求的是代数式的值，直接写为$(a + b)^{2025} = -1$（或直接计算结果为$-1$）即可）。

【变式 3】若 $ |3x - 3| $ 和 $ \sqrt{y - 4} $ 互为相反数，求 $ x + y $ 的算术平方根。

因为$|3x - 3|$和$\sqrt{y - 4}$互为相反数，所以$|3x - 3| + \sqrt{y - 4} = 0$。
由于绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数的和为$0$，则这两个非负数分别为$0$。
所以可得：$3x - 3 = 0$，解得$x = 1$；$y - 4 = 0$，解得$y = 4$。
则$x + y = 1 + 4 = 5$，$5$的算术平方根是$\sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$

1. 下列各数没有算术平方根的是()。

A.$ 0 $
B.$ -1 $
C.$ 10 $
D.$ 10^2 $

B

负数没有算术平方根，因为任何正数的平方是正数，0的平方是0，所以负数没有算术平方根，在$0$，$-1$，$10$，$10^2$中只有$-1$是负数。
所以本题选B。