1. 在平面直角坐标系中，已知点 $ P(a,a + 1) $ 在第三象限，则 $ a $ 的取值范围在数轴上可表示为()。

C

点P(a,a+1)在第三象限，所以a＜0且a+1＜0，解得a＜0且a＜-1，即a＜-1。在数轴上表示为从-1向左的部分，包含-1时用实心点，不包含时用空心点，这里a＜-1，所以-1处为空心点，向左画线。

2. 不等式组 $ \begin{cases}-2x + 6 ≥ 3, \\ x + 3 ≥ 0\end{cases}$ 的整数解有( )。

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

D

解不等式 $-2x + 6 ≥ 3$，化简得 $-2x ≥ -3$，即 $x ≤ \frac{3}{2}$；
解不等式 $x + 3 ≥ 0$，得 $x ≥ -3$；
综合两个不等式，解集为 $-3 ≤ x ≤ \frac{3}{2}$，整数解为 $-3, -2, -1, 0, 1$，共 5 个。

3. 已知不等式组 $ \begin{cases}2x - a ＜ 1, \\ x - 2b ＞ 3\end{cases}$ 的解集为 $ -1 ＜ x ＜ 1 $，则 $ (a + 1)(b - 1) $ 的值是 ______ 。

$-6$

解不等式 $2x - a ＜ 1$，得到：
$x ＜ \frac{a + 1}{2}$，
解不等式 $x - 2b ＞ 3$，得到：
$x ＞ 3 + 2b$，
由于不等式组的解集为 $-1 ＜ x ＜ 1$，可以得到以下方程组：
$\begin{cases}\frac{a + 1}{2} = 1, \\3 + 2b = -1.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}a +1 = 2 ,\\2b = -4.\end{cases}$
即$\begin{cases}a = 1 ,\\b = -2.\end{cases}$
将a和b的值代入$(a + 1)(b - 1)$，得到：
$(a + 1)(b - 1) = (1 + 1) × (-2 - 1) = 2 × (-3) = -6$。

4. 解下列不等式组：
(1) (2024 北京) $ \begin{cases} 3(x - 1) ＜ 4 + 2x, \\ \dfrac{x - 9}{5} ＜ 2x; \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} 5x - 1 ＜ 3(x + 1), \\ \dfrac{x - 1}{3} ≥ \dfrac{x - 3}{2} + 1. \end{cases} $

(1)
解不等式$3(x - 1) ＜ 4 + 2x$：
$3x - 3 ＜ 4 + 2x$
$3x - 2x ＜ 4 + 3$
$x ＜ 7$
解不等式$\dfrac{x - 9}{5} ＜ 2x$：
$x - 9 ＜ 10x$
$x - 10x ＜ 9$
$-9x ＜ 9$
$x ＞ -1$
不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 7$
(2)
解不等式$5x - 1 ＜ 3(x + 1)$：
$5x - 1 ＜ 3x + 3$
$5x - 3x ＜ 3 + 1$
$2x ＜ 4$
$x ＜ 2$
解不等式$\dfrac{x - 1}{3} ≥ \dfrac{x - 3}{2} + 1$：
$2(x - 1) ≥ 3(x - 3) + 6$
$2x - 2 ≥ 3x - 9 + 6$
$2x - 2 ≥ 3x - 3$
$2x - 3x ≥ -3 + 2$
$-x ≥ -1$
$x ≤ 1$
不等式组的解集为$x ≤ 1$

5. 小明去商店购买 A，B 两种玩具，共用了 10 元钱，A 种玩具每件 1 元，B 种玩具每件 2 元。若每种玩具至少买一件，且 A 种玩具的数量多于 B 种玩具的数量，则小明的购买方案有()。

A.5 种
B.4 种
C.3 种
D.2 种

C

设A种玩具买了x件，B种玩具买了y件。根据题意，得：
x + 2y = 10（x、y为正整数），且x ＞ y，x ≥ 1，y ≥ 1。
由x + 2y = 10得x = 10 - 2y。
∵x ＞ y，∴10 - 2y ＞ y，解得y ＜ 10/3 ≈ 3.33。
∵y为正整数，∴y=1，2，3。
当y=1时，x=8；当y=2时，x=6；当y=3时，x=4。均满足条件。
共3种方案。

6. 新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭喜爱，某车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，10 月的第一周售出 1 辆甲型车和 3 辆乙型车，销售额为 65 万元；第二周售出 4 辆甲型车和 5 辆乙型车，销售额为 155 万元。
(1) 每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？
(2) 某公司准备向该车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共 8 辆，其中购买甲种型号的新能源汽车不少于 5 辆，且购车费用不超过 153 万元，有哪几种购车方案？

(1)
设每辆甲型车的售价为$x$万元，每辆乙型车的售价为$y$万元。
$\begin{cases}x + 3y = 65\\4x + 5y = 155\end{cases}$
由$x + 3y = 65$可得$x = 65 - 3y$，将其代入$4x + 5y = 155$中得：
$4(65 - 3y)+5y = 155$
$260 - 12y + 5y = 155$
$-7y = 155 - 260$
$-7y = -105$
$y = 15$
把$y = 15$代入$x = 65 - 3y$得：
$x = 65 - 3×15$
$x = 65 - 45$
$x = 20$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 20\\y = 15\end{cases}$
答：每辆甲型车的售价为$20$万元，每辆乙型车的售价为$15$万元。
(2)
设购进甲种型号的新能源汽车$m$辆，则购进乙种型号的新能源汽车$(8 - m)$辆。
$\begin{cases}m≥5\\20m + 15(8 - m)≤153\end{cases}$
解不等式$20m + 15(8 - m)≤153$：
$20m+120 - 15m≤153$
$5m≤153 - 120$
$5m≤33$
$m≤6.6$
结合$m≥5$，且$m$为整数，所以$m$的值为$5$，$6$。
当$m = 5$时，$8 - m = 8 - 5 = 3$；
当$m = 6$时，$8 - m = 8 - 6 = 2$。
所以有两种购车方案：
方案一：购进甲种型号的新能源汽车$5$辆，乙种型号的新能源汽车$3$辆；
方案二：购进甲种型号的新能源汽车$6$辆，乙种型号的新能源汽车$2$辆。