知识点3 销售问题
4. 扎染是我国一种古老的染色印花技艺，扎染文化的推广带动了旅游相关产业的发展。云南大理某扎染坊第一次用3700元购进甲种布料25件，乙种布料55件；第二次用3800元购进甲种布料50件，乙种布料20件。该扎染坊购进的甲、乙两种布料的单价各是每件多少元？

设甲种布料的单价为$x$元/件，乙种布料的单价为$y$元/件。
根据题意，得：
$\begin{cases}25x + 55y = 3700 \\50x + 20y = 3800\end{cases}$
化简第二个方程：两边同时除以10，得$5x + 2y = 380$，记为方程③。
化简第一个方程：两边同时除以5，得$5x + 11y = 740$，记为方程④。
方程④ - 方程③，得：$9y = 360$，解得$y = 40$。
将$y = 40$代入方程③，得：$5x + 2×40 = 380$，解得$5x = 300$，$x = 60$。
答：甲种布料的单价是每件60元，乙种布料的单价是每件40元。

5. 《周髀算经》记载用“表”(标杆)测日影。若表高增加3尺，影长减少2尺，则表高与影长之和为18尺；若表高减少2尺，影长增加1尺，则表高与影长之差为4尺。原表高和影长各多少尺？设原表高x尺，影长y尺，则可列方程组为()。

A.$\begin{cases}(x + 3) + (y - 2) = 18,\\(x - 2) - (y + 1) = 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 3 + y - 2 = 18,\\x - 2 + y + 1 = 4\end{cases}$
C.$\begin{cases}(x - 3) + (y + 2) = 18,\\(x + 2) - (y - 1) = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 18 - 3 + 2,\\x - y = 4 + 2 - 1\end{cases}$

A

根据题意，设原表高为$x$尺，影长为$y$尺，当表高增加3尺，影长减少2尺时，表高与影长之和为18尺，所以有：$(x + 3) + (y - 2) = 18$。
同样，当表高减少2尺，影长增加1尺时，表高与影长之差为4尺，所以有：$(x - 2) - (y + 1) = 4$。
将这两个方程组合，得到方程组：
$\begin{cases}(x + 3) + (y - 2) = 18, \\(x - 2) - (y + 1) = 4.\end{cases}$

6. 英语吴老师准备购买清华纪念徽章和北大纪念书签奖励英语口语考试满分的同学，据了解，购买5枚徽章和2枚书签共需214元，购买3枚徽章和2枚书签共需150元，则每枚徽章和书签的价格分别是()。

A.28元，37元
B.40元，15元
C.36元，17元
D.32元，27元

D

设每枚徽章的价格为 $x$ 元，每枚书签的价格为 $y$ 元。
根据题意，列出方程组：
$\begin{cases}5x + 2y = 214, \\3x + 2y = 150.\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：
$2x = 64 \implies x = 32$，
将 $x = 32$ 代入 $3x + 2y = 150$，得：
$3 × 32 + 2y = 150 \implies 96 + 2y = 150 \implies 2y = 54 \implies y = 27$，
所以，每枚徽章的价格是 32 元，每枚书签的价格是 27 元。

7. 哥哥和弟弟今年的年龄之和是16岁，哥哥对弟弟说：“4年后，我的年龄是你的年龄的2倍。”设弟弟、哥哥今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意，可列方程组为。

方程组为 $\begin{cases} x + y = 16 \\ y + 4 = 2(x + 4) \end{cases}$（按题目要求填写具体方程组形式，无需选项）

根据题意，哥哥和弟弟今年的年龄之和是16岁，因此第一个方程为 $x + y = 16$（或者 $y + x = 16$）。
4年后，弟弟的年龄为 $x + 4$ 岁，哥哥的年龄为 $y + 4$ 岁，根据题意，4年后哥哥的年龄是弟弟年龄的2倍，因此第二个方程为 $y + 4 = 2(x + 4)$。
所以方程组为：
$\begin{cases}x + y = 16, \\y + 4 = 2(x + 4).\end{cases}$

8. （应用意识）某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4t A种原料和2t B种原料，生产每件乙产品需要3t A种原料和1t B种原料。该厂现有A种原料120t，B种原料50t。
(1)甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？
(2)在(1)的条件下，计划每件甲产品的售价为3万元，每件乙产品的售价为5万元，可全部售出。根据市场变化情况，每件甲产品实际售价比计划上涨a%，每件乙产品实际售价比计划下降10%，结果全部出售的总销售额比原计划增加了3.5万元，求a的值。

(1)设生产甲产品$x$件，乙产品$y$件，由题意得：
$\begin{cases}4x + 3y = 120, \\2x + y = 50.\end{cases}$
解这个方程组，将第二个方程乘以3得：
$6x + 3y = 150$，
用新方程减去第一个方程得：
$2x = 30 \implies x = 15$，
将$x = 15$代入第二个方程得：
$2× 15 + y = 50 \implies y = 20$，
所以方程组的解为：
$\begin{cases}x = 15, \\y = 20.\end{cases}$
答：甲产品生产15件，乙产品生产20件，恰好使两种原料全部用完。
(2)由题意，原计划总销售额为：
$15 × 3 + 20 × 5 = 45 + 100 = 145 \mathrm{(万元)}$，
变化后的总销售额为：
$15 × 3 × (1 + \frac{a}{100}) + 20 × 5 × (1 - 10\%) = 145 + 3.5=148.5 \mathrm{(万元)}$，
即：
$45(1 + \frac{a}{100}) + 90 = 148.5$，
化简得：
$45 + \frac{45a}{100} + 90 = 148.5$，
进一步化简得：
$\frac{45a}{100} = 13.5$，
解得：
$a = 30$，
答：$a$的值为30。