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【变式 5】不等式 $ 2x - 4 ＜ 10 $ 的解集是()。
A.$ x ＜ 3 $
B.$ x ＜ 7 $
C.$ x ＞ 3 $
D.$ x ＞ 7 $
A.$ x ＜ 3 $
B.$ x ＜ 7 $
C.$ x ＞ 3 $
D.$ x ＞ 7 $
答案
B
解析
首先将不等式 $2x - 4 ＜ 10$ 移项，得：
$2x ＜ 10 + 4$，
即 $2x ＜ 14$。
然后将不等式两边同时除以2，得：
$x ＜ 7$。
【变式 6】已知关于 $ x $ 的不等式 $ 2x ＞ m $ 的解集在数轴上的表示如图所示，则下列各式正确的是()。
A.$ m ＞ -4 $
B.$ m ＜ -4 $
C.$ m = -4 $
D.$ m = -2 $
A.$ m ＞ -4 $
B.$ m ＜ -4 $
C.$ m = -4 $
D.$ m = -2 $
答案
C
解析
不等式 $ 2x ＞ m $ 可以转化为 $ x ＞ \frac{m}{2} $。
根据数轴上的表示，解集为 $ x ＞ -2 $，所以有 $ \frac{m}{2} = -2 $。
通过解方程 $ \frac{m}{2} = -2 $，得到 $ m = -4 $。
因此，选项 C 正确。
根据数轴上的表示，解集为 $ x ＞ -2 $，所以有 $ \frac{m}{2} = -2 $。
通过解方程 $ \frac{m}{2} = -2 $，得到 $ m = -4 $。
因此，选项 C 正确。
【例 4】一辆救援车从救援中心出发，前往灾区救援，指挥部要求救援车 $ 1h $ 到达距救援中心 $ 80km $ 的灾区，半小时后，救援车已行驶 $ 50km $，后半小时的速度至少为多少才能不延误时间？
答案
设后半小时的速度为$x km/h$。
根据题意，救援车半小时已经行驶了$50km$，所以还剩下的距离为$80 - 50 = 30(km)$。
后半小时需要行驶完这$30km$，因此可以得到不等式：
$0.5x ≥ 30$（因为后半小时是0.5小时）。
解这个不等式，得到：
$x ≥ 60$。
答：后半小时的速度至少为$60km/h$才能不延误时间。
根据题意，救援车半小时已经行驶了$50km$，所以还剩下的距离为$80 - 50 = 30(km)$。
后半小时需要行驶完这$30km$，因此可以得到不等式：
$0.5x ≥ 30$（因为后半小时是0.5小时）。
解这个不等式，得到：
$x ≥ 60$。
答：后半小时的速度至少为$60km/h$才能不延误时间。
【变式 7】一罐饮料净重约 $ 500g $，罐上注有“蛋白质含量 $ ≥ 0.4\% $”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为$ g $。
答案
$2$
解析
设这罐饮料中蛋白质的含量为$xg$，根据题意，蛋白质含量需满足不等式$\frac{x}{500} ≥ 0.4\%$，即$x≥ 500 × 0.4\% = 2$，所以这罐饮料中蛋白质的含量至少为$2g$。
【变式 8】期中测试小刚数学得了 $ 95 $ 分，语文得了 $ 83 $ 分，要使语文、数学、英语三科的平均分不低于 $ 90 $ 分，则英语至少得分。
答案
92
解析
设英语得$x$分，根据题意得$\frac{95 + 83 + x}{3} ≥ 90$，两边同乘$3$得$95 + 83 + x ≥ 270$，计算得$178 + x ≥ 270$，两边同减$178$得$x ≥ 92$。
1. 若 $ a ＞ b $，则下列不等式变形不一定成立的是()。
A.$ a - 1 ＞ b - 1 $
B.$ ac^2 ＞ bc^2 $
C.$ -a ＜ -b $
D.$ \frac{a}{3} ＞ \frac{b}{3} $
A.$ a - 1 ＞ b - 1 $
B.$ ac^2 ＞ bc^2 $
C.$ -a ＜ -b $
D.$ \frac{a}{3} ＞ \frac{b}{3} $
答案
B
解析
选项A：根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，因为$a＞ b$，所以$a - 1＞ b - 1$，该不等式变形一定成立。
选项B：当$c = 0$时，$ac^{2}=0$，$bc^{2}=0$，此时$ac^{2}=bc^{2}$，并不满足$ac^{2}＞ bc^{2}$，所以该不等式变形不一定成立。
选项C：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，因为$a＞ b$，所以$-a＜ -b$，该不等式变形一定成立。
选项D：根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，因为$a＞ b$，所以$\frac{a}{3}＞\frac{b}{3}$，该不等式变形一定成立。
选项B：当$c = 0$时，$ac^{2}=0$，$bc^{2}=0$，此时$ac^{2}=bc^{2}$，并不满足$ac^{2}＞ bc^{2}$，所以该不等式变形不一定成立。
选项C：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，因为$a＞ b$，所以$-a＜ -b$，该不等式变形一定成立。
选项D：根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，因为$a＞ b$，所以$\frac{a}{3}＞\frac{b}{3}$，该不等式变形一定成立。
2. 不等式 $ 2x - 1 ≤ -7 $ 的解集为()。
A.$ x ＜ -3 $
B.$ x ≤ -3 $
C.$ x ＞ -3 $
D.$ x ≥ -3 $
A.$ x ＜ -3 $
B.$ x ≤ -3 $
C.$ x ＞ -3 $
D.$ x ≥ -3 $
答案
B
解析
解不等式 $2x - 1 ≤ -7$，两边同时加1得 $2x ≤ -6$，两边同时除以2得 $x ≤ -3$。
3. (1) 已知 $ a ＞ b $，则 $ a + 3 $$ b + 3 $；(选填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)
(2) 已知 $ a ＞ b $，则 $ -4a + 5 $$ -4b + 5 $；(选填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)
(3) 已知 $ a ＞ 5 $，则不等式 $ (5 - a)x ＞ a - 5 $ 的解集为。
(2) 已知 $ a ＞ b $，则 $ -4a + 5 $$ -4b + 5 $；(选填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)
(3) 已知 $ a ＞ 5 $，则不等式 $ (5 - a)x ＞ a - 5 $ 的解集为。
答案
(1)＞；(2)＜；(3)x＜-1
解析
(1) 因为 $a ＞ b$，根据不等式性质1，两边同时加3，不等号方向不变，所以 $a + 3 ＞ b + 3$。
(2) 因为 $a ＞ b$，根据不等式性质3，两边同时乘$-4$，不等号方向改变，得$-4a ＜ -4b$；再根据不等式性质1，两边同时加5，不等号方向不变，所以$-4a + 5 ＜ -4b + 5$。
(3) 因为 $a ＞ 5$，所以 $5 - a ＜ 0$。原不等式$(5 - a)x ＞ a - 5$可化为$(5 - a)x ＞ -(5 - a)$，两边同时除以$5 - a$（负数），不等号方向改变，得$x ＜ -1$。
(2) 因为 $a ＞ b$，根据不等式性质3，两边同时乘$-4$，不等号方向改变，得$-4a ＜ -4b$；再根据不等式性质1，两边同时加5，不等号方向不变，所以$-4a + 5 ＜ -4b + 5$。
(3) 因为 $a ＞ 5$，所以 $5 - a ＜ 0$。原不等式$(5 - a)x ＞ a - 5$可化为$(5 - a)x ＞ -(5 - a)$，两边同时除以$5 - a$（负数），不等号方向改变，得$x ＜ -1$。
