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4. 已知 $ a ＜ b $，且实数 $ c $ 满足 $ ac ＞ bc $，请你写出一个符合题意的实数 $ c $ 的值：。
答案
$-1$（答案不唯一，任意负数均可）。
解析
由题意 $a ＜ b$，且 $ac ＞ bc$，可以推导出：
$ac - bc ＞ 0$，
即$c(a - b) ＞ 0$。
由于 $a ＜ b$，则$a - b ＜ 0$，
为了使乘积 $c(a - b) ＞ 0$，需要 $c ＜ 0$。
因此，$c$ 可以是任意负数，例如，取 $c = -1$。
$ac - bc ＞ 0$，
即$c(a - b) ＞ 0$。
由于 $a ＜ b$，则$a - b ＜ 0$，
为了使乘积 $c(a - b) ＞ 0$，需要 $c ＜ 0$。
因此，$c$ 可以是任意负数，例如，取 $c = -1$。
5. 运用不等式的性质，将下列不等式化为 $ x ＞ a $ 或 $ x ＜ a $ 的形式。
(1) $ \frac{1}{2}x - 1 ＜ 5 $；
(2) $ x ＜ 3x - 12 $。
(1) $ \frac{1}{2}x - 1 ＜ 5 $；
(2) $ x ＜ 3x - 12 $。
答案
(1) $\frac{1}{2}x - 1 ＜ 5$
$\frac{1}{2}x - 1 + 1 ＜ 5 + 1$（不等式两边加1）
$\frac{1}{2}x ＜ 6$
$\frac{1}{2}x × 2 ＜ 6 × 2$（不等式两边乘2）
$x ＜ 12$
(2) $x ＜ 3x - 12$
$x - 3x ＜ 3x - 12 - 3x$（不等式两边减3x）
$-2x ＜ -12$
$-2x ÷ (-2) ＞ -12 ÷ (-2)$（不等式两边除以-2，不等号方向改变）
$x ＞ 6$
$\frac{1}{2}x - 1 + 1 ＜ 5 + 1$（不等式两边加1）
$\frac{1}{2}x ＜ 6$
$\frac{1}{2}x × 2 ＜ 6 × 2$（不等式两边乘2）
$x ＜ 12$
(2) $x ＜ 3x - 12$
$x - 3x ＜ 3x - 12 - 3x$（不等式两边减3x）
$-2x ＜ -12$
$-2x ÷ (-2) ＞ -12 ÷ (-2)$（不等式两边除以-2，不等号方向改变）
$x ＞ 6$
1. (2024 昆明期末) 若 $ m ＞ n $，则下列不等式中错误的是()。
A.$ m - 3 ＞ n - 3 $
B.$ 2m ＞ 2n $
C.$ \frac{m}{2} ＞ \frac{n}{2} $
D.$ -m ＞ -n $
A.$ m - 3 ＞ n - 3 $
B.$ 2m ＞ 2n $
C.$ \frac{m}{2} ＞ \frac{n}{2} $
D.$ -m ＞ -n $
答案
D
解析
已知 $m ＞ n$，根据不等式的基本性质：
A 选项：不等式两边同时减去一个相同的数 $3$，不等号方向不变，即 $m - 3 ＞ n - 3$，该选项正确。
B 选项：不等式两边同时乘以一个正数 $2$，不等号方向不变，即 $2m ＞ 2n$，该选项正确。
C 选项：不等式两边同时除以一个正数 $2$，不等号方向不变，即 $\frac{m}{2}＞\frac{n}{2}$，该选项正确。
D 选项：不等式两边同时乘以一个负数 $-1$，不等号方向改变，应得到 $-m ＜ -n$，所以该选项错误。
A 选项：不等式两边同时减去一个相同的数 $3$，不等号方向不变，即 $m - 3 ＞ n - 3$，该选项正确。
B 选项：不等式两边同时乘以一个正数 $2$，不等号方向不变，即 $2m ＞ 2n$，该选项正确。
C 选项：不等式两边同时除以一个正数 $2$，不等号方向不变，即 $\frac{m}{2}＞\frac{n}{2}$，该选项正确。
D 选项：不等式两边同时乘以一个负数 $-1$，不等号方向改变，应得到 $-m ＜ -n$，所以该选项错误。
2. 下列变形中，错误的是()。
A.由 $ x - 5 ＞ 0 $，得 $ x ＞ 5 $
B.由 $ \frac{1}{2}x ＞ 0 $，得 $ x ＞ 0 $
C.由 $ -3x ＞ -9 $，得 $ x ＞ 3 $
D.由 $ -\frac{3}{4}x ＞ 1 $，得 $ x ＜ -\frac{4}{3} $
A.由 $ x - 5 ＞ 0 $，得 $ x ＞ 5 $
B.由 $ \frac{1}{2}x ＞ 0 $，得 $ x ＞ 0 $
C.由 $ -3x ＞ -9 $，得 $ x ＞ 3 $
D.由 $ -\frac{3}{4}x ＞ 1 $，得 $ x ＜ -\frac{4}{3} $
答案
C
解析
A.由$x - 5＞0$，两边加5得$x＞5$，正确；
B.由$\frac{1}{2}x＞0$，两边乘2得$x＞0$，正确；
C.由$-3x＞-9$，两边除以$-3$，不等号方向改变，得$x＜3$，错误；
D.由$-\frac{3}{4}x＞1$，两边乘$-\frac{4}{3}$，不等号方向改变，得$x＜-\frac{4}{3}$，正确。
B.由$\frac{1}{2}x＞0$，两边乘2得$x＞0$，正确；
C.由$-3x＞-9$，两边除以$-3$，不等号方向改变，得$x＜3$，错误；
D.由$-\frac{3}{4}x＞1$，两边乘$-\frac{4}{3}$，不等号方向改变，得$x＜-\frac{4}{3}$，正确。
3. 实数 $ a $，$ b $，$ c $ 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是()。
A.$ ac ＞ bc $
B.$ ab ＞ cb $
C.$ a + c ＞ b + c $
D.$ a + b ＞ c + b $
A.$ ac ＞ bc $
B.$ ab ＞ cb $
C.$ a + c ＞ b + c $
D.$ a + b ＞ c + b $
答案
B
解析
由数轴可知 $a ＜ b ＜ 0 ＜ c$。
A. 因为 $a ＜ b$，$c ＞ 0$，根据不等式性质2，两边乘正数，不等号方向不变，所以 $ac ＜ bc$，A错误。
B. 因为 $a ＜ c$，$b ＜ 0$，根据不等式性质3，两边乘负数，不等号方向改变，所以 $ab ＞ cb$，B正确。
C. 因为 $a ＜ b$，根据不等式性质1，两边加$c$，不等号方向不变，所以 $a + c ＜ b + c$，C错误。
D. 因为 $a ＜ c$，根据不等式性质1，两边加$b$，不等号方向不变，所以 $a + b ＜ c + b$，D错误。
A. 因为 $a ＜ b$，$c ＞ 0$，根据不等式性质2，两边乘正数，不等号方向不变，所以 $ac ＜ bc$，A错误。
B. 因为 $a ＜ c$，$b ＜ 0$，根据不等式性质3，两边乘负数，不等号方向改变，所以 $ab ＞ cb$，B正确。
C. 因为 $a ＜ b$，根据不等式性质1，两边加$c$，不等号方向不变，所以 $a + c ＜ b + c$，C错误。
D. 因为 $a ＜ c$，根据不等式性质1，两边加$b$，不等号方向不变，所以 $a + b ＜ c + b$，D错误。
4. 按下列要求写出能成立的不等式及其依据：
(1) $ \frac{7}{3}m ＞ \frac{4}{5}n $，两边乘 $ 15 $，得，依据是；
(2) $ -\frac{7}{9}x ＜ -3 $，两边乘 $ -\frac{9}{7} $，得，依据是；
(3) $ x - 5 ＞ -7 $，两边加 $ 5 $，得，依据是。
(1) $ \frac{7}{3}m ＞ \frac{4}{5}n $，两边乘 $ 15 $，得，依据是；
(2) $ -\frac{7}{9}x ＜ -3 $，两边乘 $ -\frac{9}{7} $，得，依据是；
(3) $ x - 5 ＞ -7 $，两边加 $ 5 $，得，依据是。
答案
(1) $35m＞12n$，不等式的性质2；
(2) $x＞\frac{27}{7}$，不等式的性质3；
(3) $x＞-2$，不等式的性质1。
(2) $x＞\frac{27}{7}$，不等式的性质3；
(3) $x＞-2$，不等式的性质1。
解析
(1) 两边乘15，得$35m＞12n$，依据是不等式的性质2：不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变；
(2) 两边乘$-\frac{9}{7}$，得$x＞\frac{27}{7}$，依据是不等式的性质3：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变；
(3) 两边加5，得$x＞-2$，依据是不等式的性质1：不等式两边加同一个数，不等号的方向不变。
(2) 两边乘$-\frac{9}{7}$，得$x＞\frac{27}{7}$，依据是不等式的性质3：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变；
(3) 两边加5，得$x＞-2$，依据是不等式的性质1：不等式两边加同一个数，不等号的方向不变。
5. 小明和爸爸、妈妈三人玩跷跷板。爸爸的体重为 $ 75kg $，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地，那么小明的体重应小于()。
A.$ 49kg $
B.$ 50kg $
C.$ 24kg $
D.$ 25kg $
A.$ 49kg $
B.$ 50kg $
C.$ 24kg $
D.$ 25kg $
答案
D
解析
设小明的体重为 $xkg$，因为小明的体重只有妈妈的一半，则妈妈的体重为 $2xkg$。
爸爸坐在一端，小明和妈妈一同坐在另一端，此时爸爸那端仍然着地，说明爸爸的体重大于小明和妈妈的体重之和，可列不等式：
$x + 2x＜75$，
合并同类项可得：$3x＜75$，
两边同时除以$3$，解得：$x＜ 25$。
爸爸坐在一端，小明和妈妈一同坐在另一端，此时爸爸那端仍然着地，说明爸爸的体重大于小明和妈妈的体重之和，可列不等式：
$x + 2x＜75$，
合并同类项可得：$3x＜75$，
两边同时除以$3$，解得：$x＜ 25$。
6. 若 $ a $ 为有理数，且 $ 2 - a $ 的值大于 $ 1 $，则 $ a $ 的取值范围为。
答案
$a ＜ 1$
解析
由题意得 $2 - a ＞ 1$，两边同时减去2，得 $-a ＞ -1$，两边同时乘以$-1$（不等号方向改变），得 $a ＜ 1$。
7. 用不等式表示下列语句，求出不等式的解集，并在数轴上表示出来。
(1) $ x $ 的 $ 8 $ 倍不大于 $ x $ 的 $ 7 $ 倍减 $ 7 $ 的差；
(2) $ x $ 的 $ \frac{1}{2} $ 的相反数小于 $ \frac{5}{2} $。
(1) $ x $ 的 $ 8 $ 倍不大于 $ x $ 的 $ 7 $ 倍减 $ 7 $ 的差；
(2) $ x $ 的 $ \frac{1}{2} $ 的相反数小于 $ \frac{5}{2} $。
答案
(1)
根据语句“$x$的$8$倍不大于$x$的$7$倍减$7$的差”，可列出不等式：
$8x≤7x - 7$
移项可得：$8x - 7x≤ - 7$
解得：$x≤ - 7$
在数轴上表示：画一条数轴，找到$-7$这个点，用一个实心点表示包含$-7$，然后向左画一条线表示解集范围。
(2)
根据语句“$x$的$\frac{1}{2}$的相反数小于$\frac{5}{2}$”，可列出不等式：
$-\frac{1}{2}x＜\frac{5}{2}$
两边同时乘以$-2$，不等号方向改变，得到：$x＞ - 5$
在数轴上表示：画一条数轴，找到$-5$这个点，用一个空心点表示不包含$-5$，然后向右画一条线表示解集范围。
根据语句“$x$的$8$倍不大于$x$的$7$倍减$7$的差”，可列出不等式：
$8x≤7x - 7$
移项可得：$8x - 7x≤ - 7$
解得：$x≤ - 7$
在数轴上表示：画一条数轴，找到$-7$这个点，用一个实心点表示包含$-7$，然后向左画一条线表示解集范围。
(2)
根据语句“$x$的$\frac{1}{2}$的相反数小于$\frac{5}{2}$”，可列出不等式：
$-\frac{1}{2}x＜\frac{5}{2}$
两边同时乘以$-2$，不等号方向改变，得到：$x＞ - 5$
在数轴上表示：画一条数轴，找到$-5$这个点，用一个空心点表示不包含$-5$，然后向右画一条线表示解集范围。
