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一、选择题
1. 每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,某同学站在离旗杆12米远的地方,当国旗上升到旗杆顶时,他测得视线的仰角为30°,若这位同学的眼睛距离地面的高度为1.6米,则旗杆的高度约为()
A. 6.9米
B. 8.5米
C. 10.3米
D. 12.0米
1. 每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,某同学站在离旗杆12米远的地方,当国旗上升到旗杆顶时,他测得视线的仰角为30°,若这位同学的眼睛距离地面的高度为1.6米,则旗杆的高度约为()
A. 6.9米
B. 8.5米
C. 10.3米
D. 12.0米
答案
解：设旗杆的高度为$ h $米，
根据题意，得$ \tan30° = \frac{h - 1.6}{12} $，
因为$ \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3} $，
所以$ h - 1.6 = 12 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 $，
则$ h \approx 6.93 + 1.6 = 8.53 \approx 8.5 $米。
故选B。
根据题意，得$ \tan30° = \frac{h - 1.6}{12} $，
因为$ \tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3} $，
所以$ h - 1.6 = 12 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 $，
则$ h \approx 6.93 + 1.6 = 8.53 \approx 8.5 $米。
故选B。
2. 2024年5月3日17时27分,长征五号遥八运载火箭在文昌航天发射场点火升空(如图1甲),准确将嫦娥六号月球探测器送入地月转移轨道,发射任务取得圆满成功.如图1乙,当火箭上升到点A时,位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米,仰角为θ,则此时火箭距海平面的高度AL为()
A.$a\sinθ$千米
B.$\frac{a}{\sinθ}$千米
C.$a\cosθ$千米
D.$\frac{a}{\cosθ}$千米
A.$a\sinθ$千米
B.$\frac{a}{\sinθ}$千米
C.$a\cosθ$千米
D.$\frac{a}{\cosθ}$千米
答案
A
解析
在Rt△ALR中，∠L=90°，∠R=θ，AR=a千米。根据正弦函数的定义，$\sinθ=\frac{AL}{AR}$，即$\sinθ=\frac{AL}{a}$，变形得$AL=a\sinθ$千米。
3. 如图2,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为()
A.$\frac{1}{\sinα}$
B.$\frac{1}{\cosα}$
C.$\sinα$
D.1
A.$\frac{1}{\sinα}$
B.$\frac{1}{\cosα}$
C.$\sinα$
D.1
答案
A
解析
1. 重叠部分为平行四边形，过其一顶点作对边的高，该高为纸条宽度1。
2. 在含交角$α$的直角三角形中，由$\sinα=\frac{高}{平行四边形的边长}$，得平行四边形的边长为$\frac{1}{\sinα}$。
3. 平行四边形面积=边长×高=$\frac{1}{\sinα} × 1=\frac{1}{\sinα}$。
2. 在含交角$α$的直角三角形中，由$\sinα=\frac{高}{平行四边形的边长}$，得平行四边形的边长为$\frac{1}{\sinα}$。
3. 平行四边形面积=边长×高=$\frac{1}{\sinα} × 1=\frac{1}{\sinα}$。
4. 如图3,从山顶A望地面C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD=100米,点C在BD上,则山高AB为()
A.100米
B.$50\sqrt{3}$米
C.$50\sqrt{2}$米
D.$50(\sqrt{3}+1)$米
A.100米
B.$50\sqrt{3}$米
C.$50\sqrt{2}$米
D.$50(\sqrt{3}+1)$米
答案
D
解析
设山高AB为$ x $米。
由俯角定义，得$ ∠ ACB = 45° $，$ ∠ D = 30° $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ ACB = 45° $，故$ BC = AB = x $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，$ BD = BC + CD = x + 100 $，$ \tan 30° = \frac{AB}{BD} $，即$ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{x + 100} $。
解方程：
$\begin{aligned}\sqrt{3}(x + 100) &= 3x\\\sqrt{3}x + 100\sqrt{3} &= 3x\\3x - \sqrt{3}x &= 100\sqrt{3}\\x(3 - \sqrt{3}) &= 100\sqrt{3}\\x &= \frac{100\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{100\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = 50(\sqrt{3} + 1)\end{aligned}$
即山高AB为$ 50(\sqrt{3} + 1) $米。
由俯角定义，得$ ∠ ACB = 45° $，$ ∠ D = 30° $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ ACB = 45° $，故$ BC = AB = x $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，$ BD = BC + CD = x + 100 $，$ \tan 30° = \frac{AB}{BD} $，即$ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{x + 100} $。
解方程：
$\begin{aligned}\sqrt{3}(x + 100) &= 3x\\\sqrt{3}x + 100\sqrt{3} &= 3x\\3x - \sqrt{3}x &= 100\sqrt{3}\\x(3 - \sqrt{3}) &= 100\sqrt{3}\\x &= \frac{100\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{100\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = 50(\sqrt{3} + 1)\end{aligned}$
即山高AB为$ 50(\sqrt{3} + 1) $米。
5. 在△ABC中,$\sin B=\cos(90°-∠ C)=\frac{1}{2}$,那么△ABC是()
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案
A
解析
1. 由$\cos(90°-∠ C)=\frac{1}{2}$，根据特殊角的三角函数值$\cos60°=\frac{1}{2}$，得$90°-∠C=60°$，解得$∠C=30°$；
2. 由$\sin B=\frac{1}{2}$，结合三角形内角范围$0°＜∠B＜180°$，得$∠B=30°$或$150°$；
3. 因$∠C=30°$，若$∠B=150°$，则$∠B+∠C=180°$，不符合三角形内角和定理，故$∠B=30°$；
4. 综上，$∠B=∠C=30°$，$△ ABC$是等腰三角形。
2. 由$\sin B=\frac{1}{2}$，结合三角形内角范围$0°＜∠B＜180°$，得$∠B=30°$或$150°$；
3. 因$∠C=30°$，若$∠B=150°$，则$∠B+∠C=180°$，不符合三角形内角和定理，故$∠B=30°$；
4. 综上，$∠B=∠C=30°$，$△ ABC$是等腰三角形。
二、填空题
1. 社团活动课上,九年级学习小组测量学校旗杆的高度.如图4,他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°,BC=6m,则旗杆AC的高度为m.
1. 社团活动课上,九年级学习小组测量学校旗杆的高度.如图4,他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°,BC=6m,则旗杆AC的高度为m.
答案
解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=6m，
由$\tan∠ ABC=\frac{AC}{BC}$，得
$AC=BC·\tan60°=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}(\mathrm{m})$。
答：旗杆AC的高度为$6\sqrt{3}$m。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=6m，
由$\tan∠ ABC=\frac{AC}{BC}$，得
$AC=BC·\tan60°=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}(\mathrm{m})$。
答：旗杆AC的高度为$6\sqrt{3}$m。
