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1. (★)计算：
(1) $2x + 5x - 3x =$；
(2) $-3xy + 4xy - \frac{1}{3}xy =$；
(3) $a^{2} - 2a^{2} + ab =$；
(4) $3a^{2}b - 4ab^{2} + 5a^{2}b - 6ab^{2} =$。
(1) $2x + 5x - 3x =$；
(2) $-3xy + 4xy - \frac{1}{3}xy =$；
(3) $a^{2} - 2a^{2} + ab =$；
(4) $3a^{2}b - 4ab^{2} + 5a^{2}b - 6ab^{2} =$。
答案
(1) $4x$
(2) $\frac{2}{3}xy$
(3) $-a^{2} + ab$
(4) $8a^{2}b - 10ab^{2}$
(2) $\frac{2}{3}xy$
(3) $-a^{2} + ab$
(4) $8a^{2}b - 10ab^{2}$
解析
(1) 合并同类项，$2x + 5x - 3x = (2 + 5 - 3)x = 4x$。
(2) 合并同类项，$-3xy + 4xy - \frac{1}{3}xy = (-3 + 4 - \frac{1}{3})xy = \frac{2}{3}xy$。
(3) 合并同类项，$a^{2} - 2a^{2} + ab = (1 - 2)a^{2} + ab = -a^{2} + ab$。
(4) 合并同类项，$3a^{2}b - 4ab^{2} + 5a^{2}b - 6ab^{2} = (3 + 5)a^{2}b + (-4 - 6)ab^{2} = 8a^{2}b - 10ab^{2}$。
(2) 合并同类项，$-3xy + 4xy - \frac{1}{3}xy = (-3 + 4 - \frac{1}{3})xy = \frac{2}{3}xy$。
(3) 合并同类项，$a^{2} - 2a^{2} + ab = (1 - 2)a^{2} + ab = -a^{2} + ab$。
(4) 合并同类项，$3a^{2}b - 4ab^{2} + 5a^{2}b - 6ab^{2} = (3 + 5)a^{2}b + (-4 - 6)ab^{2} = 8a^{2}b - 10ab^{2}$。
2. (★)计算：
$\sqrt{8} + \sqrt{18} =$(化成二次根式)
$=$(利用合并)
$=$。
$\sqrt{8} + \sqrt{18} =$(化成二次根式)
$=$(利用合并)
$=$。
答案
$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$；最简；$(2 + 3)\sqrt{2}$；乘法分配律；$5\sqrt{2}$
解析
$\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$(化成最简二次根式)
$= (2 + 3)\sqrt{2}$(利用乘法分配律合并)
$= 5\sqrt{2}$
$= (2 + 3)\sqrt{2}$(利用乘法分配律合并)
$= 5\sqrt{2}$
3. (★)一般地，二次根式加减时，先将二次根式，再将被开方数相同的二次根式。
答案
化为最简二次根式；进行合并
解析
二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
4. (★)(1)计算：
① $2\sqrt{7} + 6\sqrt{7} =$；
② $2\sqrt{8} - 6\sqrt{8} + 5\sqrt{8} =$；
③ $3\sqrt{3} + 2\sqrt{27} - \sqrt{12} =$。
(2)思考：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
① $2\sqrt{7} + 6\sqrt{7} =$；
② $2\sqrt{8} - 6\sqrt{8} + 5\sqrt{8} =$；
③ $3\sqrt{3} + 2\sqrt{27} - \sqrt{12} =$。
(2)思考：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
答案
（1）①$2\sqrt{7} + 6\sqrt{7} = (2 + 6)\sqrt{7} = 8\sqrt{7}$；
②$2\sqrt{8} - 6\sqrt{8} + 5\sqrt{8} = (2 - 6 + 5)\sqrt{8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$；
③$3\sqrt{3} + 2\sqrt{27} - \sqrt{12} = 3\sqrt{3} + 2 × 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (3+6 - 2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$；
（2）二次根式的加减与整式的加减都遵循合并同类项的原则，即只有同类项（对于二次根式是同类二次根式）才能进行加减运算，通过合并系数来进行计算。
②$2\sqrt{8} - 6\sqrt{8} + 5\sqrt{8} = (2 - 6 + 5)\sqrt{8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$；
③$3\sqrt{3} + 2\sqrt{27} - \sqrt{12} = 3\sqrt{3} + 2 × 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (3+6 - 2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$；
（2）二次根式的加减与整式的加减都遵循合并同类项的原则，即只有同类项（对于二次根式是同类二次根式）才能进行加减运算，通过合并系数来进行计算。
5. (★)下列二次根式能与$\sqrt{3}$合并的是 【 】
A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{\frac{1}{3}}$
C.$\sqrt{24}$
D.$\sqrt{0.3}$
A.$\sqrt{18}$
B.$\sqrt{\frac{1}{3}}$
C.$\sqrt{24}$
D.$\sqrt{0.3}$
答案
B
解析
将各选项中的二次根式化简为最简二次根式，若化简后与$\sqrt{3}$的被开方数相同，则能与$\sqrt{3}$合并。
选项A：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，不能与$\sqrt{3}$合并。
选项B：$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，能与$\sqrt{3}$合并。
选项C：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，不能与$\sqrt{3}$合并。
选项D：$\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{3}{10}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$，不能与$\sqrt{3}$合并。
选项A：$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，不能与$\sqrt{3}$合并。
选项B：$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，能与$\sqrt{3}$合并。
选项C：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，不能与$\sqrt{3}$合并。
选项D：$\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{3}{10}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$，不能与$\sqrt{3}$合并。
6. (★)下列计算正确的是 【 】
A.$\sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{3}$
B.$3 + \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$
C.$8\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{12}}{3} = \sqrt{2} + 2$
A.$\sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{3}$
B.$3 + \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$
C.$8\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{12}}{3} = \sqrt{2} + 2$
答案
C
解析
A. $\sqrt{5}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并，A错误；
B. $3$与$\sqrt{5}$不是同类二次根式，不能合并，B错误；
C. $8\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (8 - 5)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$，C正确；
D. $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{12}}{3} = \frac{\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} ≠ \sqrt{2} + 2$，D错误。
B. $3$与$\sqrt{5}$不是同类二次根式，不能合并，B错误；
C. $8\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (8 - 5)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$，C正确；
D. $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{12}}{3} = \frac{\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} ≠ \sqrt{2} + 2$，D错误。
7. (★)计算$\sqrt{27} - \frac{1}{3}\sqrt{18} - \sqrt{48}$的结果是 【 】
A.1.1
B.-1
C.$-\sqrt{3} - \sqrt{2}$
D.$\sqrt{2} - \sqrt{3}$
A.1.1
B.-1
C.$-\sqrt{3} - \sqrt{2}$
D.$\sqrt{2} - \sqrt{3}$
答案
C
解析
先将各项化为最简二次根式，$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$，$\frac{1}{3}\sqrt{18} = \frac{1}{3} × 3\sqrt{2} = \sqrt{2}$，$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$，代入原式得到$3\sqrt{3} - \sqrt{2} - 4\sqrt{3} = -\sqrt{3} - \sqrt{2}$。
对比选项，计算正确结果与选项C一致。
对比选项，计算正确结果与选项C一致。
8. (★)计算：
(1) $4\sqrt{\frac{1}{2}} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{8} =$；
(2) $\frac{2}{3}\sqrt{72} - 2\sqrt{0.5} + \sqrt{1\frac{1}{8}} =$。
(1) $4\sqrt{\frac{1}{2}} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{8} =$；
(2) $\frac{2}{3}\sqrt{72} - 2\sqrt{0.5} + \sqrt{1\frac{1}{8}} =$。
答案
(1)$\sqrt{3}$；(2)$\frac{15\sqrt{2}}{4}$
解析
(1) $4\sqrt{\frac{1}{2}} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{8}$
$=4×\frac{\sqrt{2}}{2} + 3×\frac{\sqrt{3}}{3} - 2\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}$
$=\sqrt{3}$
(2) $\frac{2}{3}\sqrt{72} - 2\sqrt{0.5} + \sqrt{1\frac{1}{8}}$
$=\frac{2}{3}×6\sqrt{2} - 2×\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{9}{8}}$
$=4\sqrt{2} - \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{4}$
$=3\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{15\sqrt{2}}{4}$
$=4×\frac{\sqrt{2}}{2} + 3×\frac{\sqrt{3}}{3} - 2\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}$
$=\sqrt{3}$
(2) $\frac{2}{3}\sqrt{72} - 2\sqrt{0.5} + \sqrt{1\frac{1}{8}}$
$=\frac{2}{3}×6\sqrt{2} - 2×\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{9}{8}}$
$=4\sqrt{2} - \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{4}$
$=3\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{15\sqrt{2}}{4}$
9. (★)一个三角形的三边长分别为$\sqrt{20}$cm，$\sqrt{40}$cm，$\sqrt{45}$cm，则这个三角形的周长是。
答案
$5\sqrt{5}+2\sqrt{10}$cm
解析
三角形周长为三边长之和，即$\sqrt{20} + \sqrt{40} + \sqrt{45}$。化简各根式：$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。合并同类二次根式得$2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5} + 2\sqrt{10}$。
