1. 把多项式 $ 12a^{2}b^{3}+8a^{3}b $ 因式分解，应提取的公因式是()

A.$ ab $
B.$ 4ab $
C.$ 2ab $
D.$ 4a^{2}b $

【解析】：首先，分别观察多项式中的两个单项式的系数和字母部分。
对于系数：$12$和$8$的最大公约数为$4$。
对于字母部分：$a^{2}b^{3}$和$a^{3}b$，
$a$的最低次幂是$a^{1} × a^1（取最小的指数1（两个式子中a的指数最小为1（考虑另一个式子可以提出a^1后剩余a^2中仍含有a的因素，而提出公因式后不再包含该因素） ,实际取最小指数为考虑提出公因式后，另一个式子不再含有该因素下的最小指数，即$min(2,3（对于a的指数） ) ，对于b同理）），按公因式定义取各字母的最小指数，所以为$a^{2（提出公因式后，另一个式子不再含有a的因素下的最小指数为原式子中较小的那个） 的说明，实际直接取字母部分各字母最小指数} ，b$的最低次幂是$b$。
综合，公因式为系数与字母部分的乘积，即$4a^{2}b$。
【答案】：D

多项式各项系数的最大公约数是4，相同字母a的最低次幂是a，相同字母b的最低次幂是b，所以公因式是4ab。

2. 因式分解：$ ax^{2}+by^{2}=(3x + 4y)(3x - 4y) $，则 $ a + b $ 的值为()

A.$ 7 $
B.$ -1 $
C.$ 25 $
D.$ -7 $

D

将右边展开：$(3x + 4y)(3x - 4y) = 9x^2 - 16y^2$，对比左边$ax^2 + by^2$，可得$a = 9$，$b = -16$，则$a + b = 9 + (-16) = -7$。

3. 已知 $ x + 2y = 5 $，$ 2y - x = 3 $，则代数式 $ x^{2}-4y^{2}+2x - 4y $ 的值为()

A.$ 9 $
B.$ -12 $
C.$ -21 $
D.$ 2 $

C

由平方差公式得$x^2 - 4y^2=(x-2y)(x+2y)$，提取公因式得$2x - 4y=2(x - 2y)$，则原式=$(x-2y)(x+2y)+2(x-2y)=(x-2y)(x+2y+2)$。已知$x + 2y = 5$，$2y - x = 3$，则$x - 2y=-3$。代入得$(-3)(5 + 2)=-21$。

4. 若 $ \frac{1}{4}x^{2}-(k + 1)xy + 16y^{2} $ 是一个完全平方式，则 $ k $ 的值为。

由于本题是求k的值，答案以数值形式呈现，因此没有ABCD选项，填$3$或$-5$（根据题目要求，通常填写求解出的具体数值，若题目有多个解，以题目要求形式呈现，本题直接给出数值解即可）。

完全平方的一般形式为 $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ 或 $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$。
对于给定的式子 $\frac{1}{4}x^{2}-(k + 1)xy + 16y^{2}$，可以观察到它的首项和末项分别是 $(\frac{1}{2}x)^{2}$ 和 $(4y)^{2}$。
根据完全平方的性质，中间项应该是首项和末项平方根的乘积的 $\pm2$ 倍，即 $\pm 2 × \frac{1}{2}x × 4y = \pm 4xy$。
将中间项与给定的式子中的中间项进行比较，得到 $-(k+1)xy = \pm 4xy$。
解这个方程，得到 $k + 1 = \pm 4$，进一步解得 $k = 3$ 或 $k = -5$。

5. 若将多项式 $ 3x^{2}-mx + 6 $ 因式分解得到 $ (x - 3)(3x - n) $，则 $ m + n $ 的值为。

13（这里题目要求是填数值不是选项，按照格式规范填13对应的（若原题是选项题则按规则填选项，本题按实际数值填写）实际此题要求填数值） ，根据题目要求规范填写为：13。

本题可先将$(x - 3)(3x - n)$展开，然后根据多项式相等的性质求出$m$、$n$的值，最后代入$m + n$计算。
步骤一：将$(x - 3)(3x - n)$展开
根据多项式乘法法则$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，将$(x - 3)(3x - n)$展开可得：
$(x - 3)(3x - n)=x×3x-x× n-3×3x + 3× n=3x^{2}-nx - 9x + 3n=3x^{2}-(n + 9)x + 3n$
步骤二：根据多项式相等的性质求出$m$、$n$的值
已知$3x^{2}-mx + 6=(x - 3)(3x - n)=3x^{2}-(n + 9)x + 3n$，
根据两个多项式相等，则它们对应项的系数相等，可得：
$\begin{cases}3n = 6\\-(n + 9)=-m\end{cases}$
解$3n = 6$，两边同时除以$3$，可得$n = 2$。
将$n = 2$代入$-(n + 9)=-m$，可得$-(2 + 9)=-m$，即$-11=-m$，两边同时乘以$-1$，解得$m = 11$。
步骤三：计算$m + n$的值
将$m = 11$，$n = 2$代入$m + n$，可得$m + n=11 + 2 = 13$。

6. 若代数式 $ x - 2y $ 的值为 $ 3 $，则代数式 $ x^{2}-4y^{2}-12y $ 的值为。

9

由已知条件$x - 2y=3$，对代数式$x^{2}-4y^{2}-12y$进行变形，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，可得$x^{2}-4y^{2}-12y=(x + 2y)(x - 2y)-12y$。
把$x - 2y = 3$代入上式得：原式$=3(x + 2y)-12y=3x+6y - 12y=3x - 6y=3(x - 2y)$。
再把$x - 2y = 3$代入$3(x - 2y)$，可得$3×3 = 9$。

7. 把下列各式因式分解：
(1) $ 3x - 12x^{2} $；
(2) $ n^{2}(m - 2)-n(2 - m) $；
(3) $ 2(a - b)^{2}+4(b - a) $；
(4) $ (2x + 1)(3x - 2)-(2x + 1)^{2} $。

(1)解： $3x - 12x^{2}$
$= 3x(1 - 4x)$
(2)解：$n^{2}(m - 2)-n(2 - m)$
$= n^{2}(m - 2) + n(m - 2)$
$= (m - 2)(n^{2} + n)$
$= n(m - 2)(n + 1)$
(3)解： $2(a - b)^{2}+4(b - a)$
$= 2(a - b)^{2} - 4(a - b)$
$= 2(a - b)(a - b - 2)$
(4)解：$(2x + 1)(3x - 2)-(2x + 1)^{2}$
$= (2x + 1)[(3x - 2) - (2x + 1)]$
$= (2x + 1)(x - 3)$

8. 已知实数 $ a $，$ b $ 满足 $ a + b = 2 $，$ ab = -15 $。
(1) 求代数式 $ a^{2}+b^{2} $ 的值；
(2) 求代数式 $ -3(a^{2}+b^{2})+a^{3}b + ab^{3} $ 的值。

(1)
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$。
已知$a + b = 2$，$ab=-15$，将其代入上式可得：
$a^{2}+b^{2}=2^{2}-2×(-15)=4 + 30=34$。
(2)
先对$a^{3}b + ab^{3}$提取公因式$ab$，得到$a^{3}b + ab^{3}=ab(a^{2}+b^{2})$。
由(1)知$a^{2}+b^{2}=34$，又已知$ab = - 15$，则$a^{3}b + ab^{3}=-15×34=-510$。
将$a^{2}+b^{2}=34$代入$-3(a^{2}+b^{2})+a^{3}b + ab^{3}$可得：
$-3×34+(-510)$
$=-102 - 510$
$=-612$。
综上，答案依次为：(1)$34$；(2)$-612$。

9. 提升题 如图①，从边长为 $ a $ 的正方形纸片中剪掉一个边长为 $ b $ 的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）。

(1) 上述操作能验证的等式是。
(2) 利用你从(1)中得出的等式，计算：
① 已知 $ x^{2}-4y^{2}=12 $，$ x + 2y = 4 $，求 $ x - 2y $ 的值；
② 计算：$ (1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{100^{2}}) $。

(1)
原正方形面积为$a^2$，剪掉的正方形面积为$b^2$，则剩余部分面积为$a^{2}-b^{2}$。
拼成的长方形的长为$a + b$，宽为$a - b$，面积为$(a + b)(a - b)$。
由于剩余部分面积不变，所以能验证的等式是$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$。
(2)
①
由$x^{2}-4y^{2}=(x + 2y)(x - 2y)$，已知$x^{2}-4y^{2}=12$，$x + 2y = 4$，则$x - 2y=\frac{x^{2}-4y^{2}}{x + 2y}=\frac{12}{4}=3$。
②
根据$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，对$1-\frac{1}{n^{2}}$变形可得$1-\frac{1}{n^{2}}=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}=\frac{(n + 1)(n - 1)}{n^{2}}$。
则$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{100^{2}})$
$=\frac{(2 - 1)(2 + 1)}{2^{2}}×\frac{(3 - 1)(3 + 1)}{3^{2}}×\frac{(4 - 1)(4 + 1)}{4^{2}}×···×\frac{(100 - 1)(100 + 1)}{100^{2}}$
$=\frac{1×3}{2^{2}}×\frac{2×4}{3^{2}}×\frac{3×5}{4^{2}}×···×\frac{99×101}{100^{2}}$
通过约分可得：
原式$=\frac{1}{2}×\frac{101}{100}=\frac{101}{200}$。
综上，答案依次为：(1)$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$；(2)①$3$；②$\frac{101}{200}$。