知识点 3 用代入法解二元一次方程组在简单实际问题中的应用
3. 学校组织春游，每人车费 4 元。下面是(1)班的班长小明与(2)班的班长小红的对话。
小明：我们两班共 93 人。
小红：我们(2)班比你们(1)班多交了 12 元的车费。
根据上面对话，(1)班和(2)班各有多少人？

设(1)班有$x$人，(2)班有$y$人。
根据题意，得$\begin{cases}x + y = 93 \\ 4y - 4x = 12\end{cases}$
由$4y - 4x = 12$，化简得$y - x = 3$，即$y = x + 3$
将$y = x + 3$代入$x + y = 93$，得$x + x + 3 = 93$
$2x = 90$，解得$x = 45$
则$y = 45 + 3 = 48$
答：(1)班有45人，(2)班有48人。

知识点 4 整体代换思想在代入法中的应用
4. 用代入法解二元一次方程组
$\begin{cases}3x + 2y = 5,①\\3x + 4y = 9.②\end{cases}$

由①式可得 $3x = 5 - 2y$ （记为③式）。
将③式代入②式，得：
$5 - 2y + 4y = 9$，
合并同类项，得：
$2y = 4$，
系数化为1，得：
$y = 2$。
将 $y = 2$ 代入③式，得：
$3x = 5 - 2 × 2$，
即$3x = 1$，
系数化为1，得：
$x = \frac{1}{3}$。
因此，方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{1}{3}, \\y = 2. \end{cases}$

5. (2024 南充)我国古代《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中。一房七客多七客，一房九客一房空。题中后面两句的意思是：如果每一间客房住 7 人，那么有 7 人无房可住；如果每一间客房住 9 人，那么就空出一间客房。设有客房 x 间，客人 y 人，则可列方程组为()。

$A.\begin{cases}7x - 7 = y,\\9(x + 1) = y\end{cases}$
$B.\begin{cases}7x - 7 = y,\\9(x - 1) = y\end{cases}$
$C.\begin{cases}7x + 7 = y,\\9(x + 1) = y\end{cases}$
$D.\begin{cases}7x + 7 = y,\\9(x - 1) = y\end{cases}$

D

根据“每间客房住7人，有7人无房住”，得$7x + 7 = y$；根据“每间客房住9人，空出一间客房”，得$9(x - 1) = y$，故方程组为$\begin{cases}7x + 7 = y\\9(x - 1) = y\end{cases}$

6. 用代入法解二元一次方程组
$\begin{cases}\dfrac{x + y}{3} - \dfrac{x - y}{2} = 1,\\2(x + y) + 3(x - y) = 18.\end{cases}$

设$a = x + y$，$b = x - y$，原方程组化为：
$\begin{cases}\dfrac{a}{3} - \dfrac{b}{2} = 1 \\ 2a + 3b = 18\end{cases}$
由第一个方程去分母得：$2a - 3b = 6$，即$2a = 3b + 6$，解得$a = \dfrac{3b + 6}{2}$。
将$a = \dfrac{3b + 6}{2}$代入$2a + 3b = 18$得：
$2×\dfrac{3b + 6}{2} + 3b = 18$
$3b + 6 + 3b = 18$
$6b = 12$
$b = 2$
将$b = 2$代入$a = \dfrac{3b + 6}{2}$得：$a = \dfrac{3×2 + 6}{2} = 6$
即$\begin{cases}x + y = 6 \\ x - y = 2\end{cases}$
由$x - y = 2$得$x = y + 2$，代入$x + y = 6$得：
$y + 2 + y = 6$
$2y = 4$
$y = 2$
将$y = 2$代入$x = y + 2$得：$x = 4$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 4 \\ y = 2\end{cases}$

7. (运算能力)(2024 上海改编)解二元一次方程组
$\begin{cases}(x - 4y)(x + y) = 0,①\\x + 2y = 6.②\end{cases}$

解：
由①得：$x - 4y = 0$或$x + y = 0$。
情况一： $x - 4y = 0$，即$x = 4y$。
代入②：$4y + 2y = 6$，
$6y = 6$，解得$y = 1$。
将$y = 1$代入$x = 4y$，得$x = 4$。
$\therefore \begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$。
情况二： $x + y = 0$，即$x = -y$。
代入②：$-y + 2y = 6$，
$y = 6$。
将$y = 6$代入$x = -y$，得$x = -6$。
$\therefore \begin{cases}x = -6\\y = 6\end{cases}$。
综上，方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x = -6\\y = 6\end{cases}$。