6. 如果方程组 $ \begin{cases}x + y = 8, \\ y + z = 6, \\ z + x = 4\end{cases}$ 的解使代数式 $ kx + 2y - z $ 的值为 10, 那么 $ k $ 的值为( ).

A.$ \frac{1}{3} $
B.3
C.$ - \frac{1}{3} $
D.$ - 3 $

A

$\begin{cases}x + y = 8,① \\ y + z = 6,② \\ z + x = 4,③\end{cases}$
①+②+③得：$2x + 2y + 2z = 18$，即$x + y + z = 9,④$
④-①得：$z = 1$
④-②得：$x = 3$
④-③得：$y = 5$
将$x = 3$，$y = 5$，$z = 1$代入$kx + 2y - z = 10$，得$3k + 10 - 1 = 10$，解得$k = \frac{1}{3}$

7. 已知 $ x + y + 7z = 0 $, $ x - y - 3z = 0 ( xyz ≠ 0 ) $, 则 $ \frac{2x + y + z}{2x - y + z} = $.

-4

$\begin{cases}x + y = -7z \quad (1) \\x - y = 3z \quad (2)\end{cases}$
(1)+(2)得：$2x = -4z$，解得$x = -2z$。
将$x = -2z$代入(2)：$-2z - y = 3z$，解得$y = -5z$。
代入分式：
分子：$2x + y + z = 2(-2z) + (-5z) + z = -8z$，
分母：$2x - y + z = 2(-2z) - (-5z) + z = 2z$，
则$\frac{-8z}{2z} = -4$。

8. 已知等式 $ y = ax^{2} + bx + c $, 且当 $ x = 1 $ 时, $ y = 0 $; 当 $ x = 2 $ 时, $ y = 3 $; 当 $ x = - 3 $ 时, $ y = 28 $.
(1)求 $ a $, $ b $, $ c $ 的值;
(2)当 $ x = - 2 $ 时, $ y $ 的值又是多少?

(1)$a=2$，$b=-3$，$c=1$；(2)$15$

(1)由题意得：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \\4a + 2b + c = 3 \\9a - 3b + c = 28\end{cases}$
② - ①得：$3a + b = 3$ ④
③ - ①得：$8a - 4b = 28$，化简为$2a - b = 7$ ⑤
④ + ⑤得：$5a = 10$，解得$a = 2$
将$a = 2$代入④得：$3×2 + b = 3$，解得$b = -3$
将$a = 2$，$b = -3$代入①得：$2 - 3 + c = 0$，解得$c = 1$
所以$a = 2$，$b = -3$，$c = 1$
(2)由(1)知$y = 2x^2 - 3x + 1$，当$x = -2$时，
$y = 2×(-2)^2 - 3×(-2) + 1 = 2×4 + 6 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$

9. (应用意识)某农场 300 名职工耕种 51 公顷土地, 计划种植水稻、棉花和蔬菜, 已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表所示.

已知该农场计划在设备上投入 67 万元, 应该怎样安排这三种作物的种植面积, 才能使所有职工有工作, 而且投入的资金正好够用?

设水稻、棉花、蔬菜的种植面积分别为$x$公顷、$y$公顷、$z$公顷。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y + z = 51 \\4x + 8y + 5z = 300 \\x + y + 2z = 67\end{cases}$
由第三个方程减去第一个方程，得：
$(x + y + 2z) - (x + y + z) = 67 - 51 \implies z = 16$
将$z = 16$代入第一个方程，得：
$x + y + 16 = 51 \implies x + y = 35 \quad \mathrm{(方程④)}$
将$z = 16$代入第二个方程，得：
$4x + 8y + 5 × 16 = 300 \implies 4x + 8y = 220 \implies x + 2y = 55 \quad \mathrm{(方程⑤)}$
由方程⑤减去方程④，得：
$(x + 2y) - (x + y) = 55 - 35 \implies y = 20$
将$y = 20$代入方程④，得：
$x + 20 = 35 \implies x = 15$
答：水稻种植15公顷，棉花种植20公顷，蔬菜种植16公顷。