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6. 计算 $\sqrt{(-4)^2}+|3 - 4|-\sqrt{9}$，值为()。
A.$-2$
B.2
C.3
D.4
A.$-2$
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
首先计算 $\sqrt{(-4)^2}$，因为 $(-4)^2 = 16$，所以 $\sqrt{16} = 4$。
然后计算 $|3 - 4|$，因为 $3 - 4 = -1$，所以 $|-1| = 1$。
最后计算 $\sqrt{9}$，结果为 $3$。
将以上结果代入原式：
$4 + 1 - 3 = 2$。
7. 有下列说法：①无限小数都是无理数；②正数、负数统称为实数；③无理数的相反数还是无理数；④无理数与无理数的和一定还是无理数；⑤无理数与有理数的和一定是无理数；⑥无理数与有理数的积一定仍是无理数。其中正确的有()。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
①无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，错误；
②正数、负数和0统称为实数，错误；
③无理数的相反数还是无理数，正确；
④$\sqrt{2}$与$-\sqrt{2}$的和为0是有理数，无理数与无理数的和不一定是无理数，错误；
⑤无理数与有理数的和一定是无理数，正确；
⑥0是有理数，$0×\sqrt{2}=0$是有理数，无理数与有理数的积不一定是无理数，错误。
正确的有2个。
8. 按如图所示的数值运算流程图，输入数字 9，输出的结果是。
答案
6
解析
输入9，计算9÷3=3，3-√2≈3-1.414=1.586，1.586＞1，所以+（3+√2），1.586+3+1.414=6，输出6。
9. 计算：
(1) $2(\sqrt{5}+2\sqrt{6})-(\sqrt{5}+6\sqrt{6})$；
(2) $\frac{1}{3}\sqrt{36}+\frac{1}{5}\sqrt{900}+|\sqrt[3]{-27}|+\sqrt[3]{125}$。
(1) $2(\sqrt{5}+2\sqrt{6})-(\sqrt{5}+6\sqrt{6})$；
(2) $\frac{1}{3}\sqrt{36}+\frac{1}{5}\sqrt{900}+|\sqrt[3]{-27}|+\sqrt[3]{125}$。
答案
(1)
$2(\sqrt{5}+2\sqrt{6})-(\sqrt{5}+6\sqrt{6})$
$=2\sqrt{5}+4\sqrt{6}-\sqrt{5}-6\sqrt{6}$
$=(2\sqrt{5}-\sqrt{5})+(4\sqrt{6}-6\sqrt{6})$
$=\sqrt{5}-2\sqrt{6}$
(2)
$\frac{1}{3}\sqrt{36}+\frac{1}{5}\sqrt{900}+|\sqrt[3]{-27}|+\sqrt[3]{125}$
$=\frac{1}{3}×6+\frac{1}{5}×30 + |-3|+5$
$=2 + 6+3 + 5$
$=16$
$2(\sqrt{5}+2\sqrt{6})-(\sqrt{5}+6\sqrt{6})$
$=2\sqrt{5}+4\sqrt{6}-\sqrt{5}-6\sqrt{6}$
$=(2\sqrt{5}-\sqrt{5})+(4\sqrt{6}-6\sqrt{6})$
$=\sqrt{5}-2\sqrt{6}$
(2)
$\frac{1}{3}\sqrt{36}+\frac{1}{5}\sqrt{900}+|\sqrt[3]{-27}|+\sqrt[3]{125}$
$=\frac{1}{3}×6+\frac{1}{5}×30 + |-3|+5$
$=2 + 6+3 + 5$
$=16$
10. 已知正数 $m$ 的平方根是 $2a - 7$ 和 $a + 4$，$b - 12$ 的立方根为 $-2$，$c$ 是 $\sqrt{15}$ 的整数部分。
(1) 求 $a$，$m$，$b$，$c$ 的值；
(2) 求 $a + 3b + c$ 的算术平方根。
(1) 求 $a$，$m$，$b$，$c$ 的值；
(2) 求 $a + 3b + c$ 的算术平方根。
答案
(1)
因为正数$m$的平方根是$2a - 7$和$a + 4$，
所以$2a - 7+a + 4 = 0$，
$3a-3 = 0$，
$3a=3$，
$a = 1$。
则$m=(a + 4)^{2}=(1 + 4)^{2}=25$。
因为$b - 12$的立方根为$-2$，
所以$b - 12=(-2)^{3}=-8$，
$b = 4$。
因为$9＜15＜16$，
所以$3＜\sqrt{15}＜4$，
所以$c = 3$。
(2)
$a + 3b + c=1+3×4 + 3=1 + 12+3=16$。
因为$16$的算术平方根为$4$，
所以$a + 3b + c$的算术平方根为$4$。
因为正数$m$的平方根是$2a - 7$和$a + 4$，
所以$2a - 7+a + 4 = 0$，
$3a-3 = 0$，
$3a=3$，
$a = 1$。
则$m=(a + 4)^{2}=(1 + 4)^{2}=25$。
因为$b - 12$的立方根为$-2$，
所以$b - 12=(-2)^{3}=-8$，
$b = 4$。
因为$9＜15＜16$，
所以$3＜\sqrt{15}＜4$，
所以$c = 3$。
(2)
$a + 3b + c=1+3×4 + 3=1 + 12+3=16$。
因为$16$的算术平方根为$4$，
所以$a + 3b + c$的算术平方根为$4$。
11. 下列各组数中互为相反数的是()。
A.5 和 $\sqrt{(-5)^2}$
B.$-|-\sqrt{2}|$ 和 $-(-\sqrt{2})$
C.$-\sqrt[3]{8}$ 和 $\sqrt[3]{-8}$
D.$-5$ 和 $\frac{1}{5}$
A.5 和 $\sqrt{(-5)^2}$
B.$-|-\sqrt{2}|$ 和 $-(-\sqrt{2})$
C.$-\sqrt[3]{8}$ 和 $\sqrt[3]{-8}$
D.$-5$ 和 $\frac{1}{5}$
答案
B
解析
A 选项中，$\sqrt{(-5)^2} = 5$，与 5 相等，不互为相反数；
B 选项中，$-|-\sqrt{2}| = -\sqrt{2}$，$-(-\sqrt{2}) = \sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{2}$ 互为相反数；
C 选项中，$-\sqrt[3]{8} = -2$，$\sqrt[3]{-8} = -2$，两者相等，不互为相反数；
D 选项中，$-5$ 和 $\frac{1}{5}$ 互为负倒数，不互为相反数。
12. 计算：
(1) $(\sqrt{3}-\sqrt{10})-2(2\sqrt{10}-\sqrt{3})$；
(2) $-\sqrt[3]{10}+|-\sqrt{5}|+\sqrt{81}+|-\sqrt[3]{10}|$。
(1) $(\sqrt{3}-\sqrt{10})-2(2\sqrt{10}-\sqrt{3})$；
(2) $-\sqrt[3]{10}+|-\sqrt{5}|+\sqrt{81}+|-\sqrt[3]{10}|$。
答案
(1) 原式$=\sqrt{3}-\sqrt{10}-4\sqrt{10}+2\sqrt{3}$
$=(\sqrt{3}+2\sqrt{3})+(-\sqrt{10}-4\sqrt{10})$
$=3\sqrt{3}-5\sqrt{10}$
(2) 原式$=-\sqrt[3]{10}+\sqrt{5}+9+\sqrt[3]{10}$
$=(-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{10})+\sqrt{5}+9$
$=0+\sqrt{5}+9$
$=9+\sqrt{5}$
$=(\sqrt{3}+2\sqrt{3})+(-\sqrt{10}-4\sqrt{10})$
$=3\sqrt{3}-5\sqrt{10}$
(2) 原式$=-\sqrt[3]{10}+\sqrt{5}+9+\sqrt[3]{10}$
$=(-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{10})+\sqrt{5}+9$
$=0+\sqrt{5}+9$
$=9+\sqrt{5}$
13. 已知 $a$ 的平方根是 $\pm2$，$b$ 是 27 的立方根，$c$ 是 $\sqrt{12}$ 的整数部分。
(1) 求 $a + b + c$ 的值；
(2) 若 $x$ 是 $\sqrt{12}$ 的小数部分，求 $x - \sqrt{12} + 19$ 的平方根。
(1) 求 $a + b + c$ 的值；
(2) 若 $x$ 是 $\sqrt{12}$ 的小数部分，求 $x - \sqrt{12} + 19$ 的平方根。
答案
(1)
因为$a$的平方根是$\pm2$，根据平方根的定义，若$x$的平方根是$\pm y$，则$x = y^{2}$，所以$a = 2^{2}=4$。
因为$b$是$27$的立方根，根据立方根的定义，若$x$是$y$的立方根，则$x=\sqrt[3]{y}$，所以$b=\sqrt[3]{27}=3$。
因为$9＜12＜16$，根据算术平方根的性质，若$m＜ n$，则$\sqrt{m}＜\sqrt{n}$，所以$3＜\sqrt{12}＜4$，那么$\sqrt{12}$的整数部分$c = 3$。
所以$a + b + c=4 + 3+3=10$。
(2)
由(1)知$\sqrt{12}$的整数部分是$3$，因为一个数等于整数部分加上小数部分，所以$\sqrt{12}$的小数部分$x=\sqrt{12}-3$。
则$x - \sqrt{12}+19=(\sqrt{12}-3)-\sqrt{12}+19$
$=16$。
因为$\pm\sqrt{16}=\pm4$，所以$x - \sqrt{12}+19$的平方根是$\pm4$。
因为$a$的平方根是$\pm2$，根据平方根的定义，若$x$的平方根是$\pm y$，则$x = y^{2}$，所以$a = 2^{2}=4$。
因为$b$是$27$的立方根，根据立方根的定义，若$x$是$y$的立方根，则$x=\sqrt[3]{y}$，所以$b=\sqrt[3]{27}=3$。
因为$9＜12＜16$，根据算术平方根的性质，若$m＜ n$，则$\sqrt{m}＜\sqrt{n}$，所以$3＜\sqrt{12}＜4$，那么$\sqrt{12}$的整数部分$c = 3$。
所以$a + b + c=4 + 3+3=10$。
(2)
由(1)知$\sqrt{12}$的整数部分是$3$，因为一个数等于整数部分加上小数部分，所以$\sqrt{12}$的小数部分$x=\sqrt{12}-3$。
则$x - \sqrt{12}+19=(\sqrt{12}-3)-\sqrt{12}+19$
$=16$。
因为$\pm\sqrt{16}=\pm4$，所以$x - \sqrt{12}+19$的平方根是$\pm4$。
14.(推理能力)观察下列等式：
① $1^3 = 1^2$；
② $1^3 + 2^3 = 3^2$；
③ $1^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2$；
④ $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10^2$；
…
根据此规律，$1^3 + 2^3 + 3^3 + ··· + 7^3$ 的结果为。
① $1^3 = 1^2$；
② $1^3 + 2^3 = 3^2$；
③ $1^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2$；
④ $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10^2$；
…
根据此规律，$1^3 + 2^3 + 3^3 + ··· + 7^3$ 的结果为。
答案
784（（直接填写结果数字））
解析
由题中给出的等式可知：
$① 1^3 = 1^2 = (1)^2$，
$② 1^3 + 2^3 = 3^2 = (1 + 2)^2$，
$③ 1^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2 = (1 + 2 + 3)^2$，
$④ 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10^2 = (1 + 2 + 3 + 4)^2$。
由此可归纳出规律：
$1^3 + 2^3 + 3^3 + ··· + n^3 = (1 + 2 + 3 + ··· + n)^2 $当 n = 7 时，$ 1 + 2 + 3 + ··· + 7 = \frac{7 × (7 + 1)}{2} = 28 $
因此：
$1^3 + 2^3 + 3^3 + ··· + 7^3 = 28^2 = 784 $
$① 1^3 = 1^2 = (1)^2$，
$② 1^3 + 2^3 = 3^2 = (1 + 2)^2$，
$③ 1^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2 = (1 + 2 + 3)^2$，
$④ 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10^2 = (1 + 2 + 3 + 4)^2$。
由此可归纳出规律：
$1^3 + 2^3 + 3^3 + ··· + n^3 = (1 + 2 + 3 + ··· + n)^2 $当 n = 7 时，$ 1 + 2 + 3 + ··· + 7 = \frac{7 × (7 + 1)}{2} = 28 $
因此：
$1^3 + 2^3 + 3^3 + ··· + 7^3 = 28^2 = 784 $
