7. 如图1-5-16， $ △ ABC $的三条角平分线交于点 O， $ OD\bot AC $。若 $ △ ABC $的周长为12， $ OD=1 $求 $ △ ABC $的面积。

7. 解：如答图 1 - 5 - 5 所示，过点$O$作$OF⊥ AB$，$OE⊥ BC$，垂足分别为$F$，$E$。

由条件可知$OD=OF$，$OE=OF$，$OD=OE$，
$\therefore OE=OF=OD=1$。
根据题意可知$AB+BC+AC=12$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}AB· OF+\frac{1}{2}BC· OE+\frac{1}{2}AC· OD=\frac{1}{2}× AB+\frac{1}{2}× BC+\frac{1}{2}× AC=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}× 12=6$。

1. 如图1-5-17，若 AD//BC，DE平分 $ ∠ A D B $ ， $ ∠ B D C=∠ B C D $ ，BF平分 $ ∠ A B D $ ，给出下列结论： $ \textcircled{1} $ $ ∠ E D C=90° $ $ \textcircled{2} $ $ ∠ D E C+∠ D C E= 90° $ $ \textcircled{3} $ $ ∠ A B C+2∠ F=1 8 0° $ $ \textcircled{4} $ $ ∠ D E C=2∠ E C B $ ； $ \textcircled{5} $若 E为AB的中点，则 $ S_{△ E D C}=\frac{1}{2} S_{\mathrm{四边形} A B C D} $ 。其中正确的有_______。（填序号） ## 二、拓展性作业

1. ①②③⑤

2. 如图1-5-18，在 $ △ A B C $中，AD为BC边上的高，AE是 $ ∠ B A D $的平分线，F为AE上一点，连接BF， $ ∠ B F E=4 5°。 $
(1) 求证：BF平分 $ ∠ A B E $；
(2) 连接CF交AD于点G，若 $ S_{△ ABF}=S_{△ CBF} $ ，求证： $ ∠ AFC=90° $ (3) 在（2）的条件下，当 $ B E=3 $ ， $ A G=4. 5 $时，求线段AB的长。

2. (1)证明：$\because AE$是$∠ BAD$的平分线，
$\therefore ∠ BAD=2∠ BAF$。
$\because ∠ BFE=45°$，$\therefore ∠ FBA+∠ BAF=45°$。
$\therefore 2∠ FBA+2∠ BAF=90°$。
$\because AD$为$BC$边上的高，
$\therefore ∠ EBF+∠ FBA+2∠ BAF=90°$。
$\therefore 2∠ FBA=∠ EBF+∠ FBA$。
$\therefore ∠ EBF=∠ FBA$。
$\therefore BF$平分$∠ ABE$。
(2)证明：如答图 1 - 5 - 6，过点$F$作$FM⊥ BC$于点$M$，$FN⊥ AB$于点$N$。

$\because BF$平分$∠ ABE$，$FM⊥ BC$，$FN⊥ AB$，
$\therefore FM=FN$。
$\because S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$，$\therefore \frac{1}{2}AB· FN=\frac{1}{2}BC· FM$。
$\therefore AB=BC$。
在$△ ABF$和$△ CBF$中，
$\because BA=BC$，$∠ ABF=∠ CBF$，$BF=BF$，
$\therefore △ ABF≌△ CBF(\mathrm{SAS})$。$\therefore ∠ AFB=∠ CFB$。
$\because ∠ BFE=45°$，$\therefore ∠ AFB=135°$。
$\therefore ∠ CFB=135°$。
$\therefore ∠ CFE=∠ CFB - ∠ BFE=135°-45°=90°$。
$\therefore ∠ AFC=90°$。
(3)解：$\because △ ABF≌△ CBF$，$\therefore AF=FC$。
$\because ∠ AFC=∠ ADC=90°$，$∠ AGF=∠ CGD$，
$\therefore ∠ FAG=∠ FCE$。
在$△ AFG$和$△ CFE$中，
$\because ∠ AFG=∠ CFE$，$AF=CF$，$∠ FAG=∠ FCE$，
$\therefore △ AFG≌△ CFE(\mathrm{ASA})$。$\therefore EC=AG=4.5$。
$\because BE=3$，$\therefore BC=BE+EC=7.5$。
$\because △ ABF≌△ CBF$，$\therefore AB=BC=7.5$。