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5. 用火柴棒按如图所示的方式搭图形,依此规律搭下去,搭第5个图形需要______根火柴棒,搭第$n$个图形需要______根火柴棒。
答案
21 4n+1
解析
21；$4n+1$
6. 下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成的,第1个图案需8根火柴棒,第2个图案需15根火柴棒……按此规律,第$n$个图案需______根火柴棒。
答案
7n+1
7. 如表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过,因而人们把这个表叫作杨辉三角。请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是______。
答案
3
8. 观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第2019个图形中共有______个$○$。
答案
6058
解析
第1个图形有$4$个$○$，第2个图形有$7$个$○$，第3个图形有$10$个$○$，第4个图形有$13$个$○$。
观察规律：$4=3×1 + 1$，$7=3×2 + 1$，$10=3×3 + 1$，$13=3×4 + 1$，
故第$n$个图形中$○$的个数为$3n + 1$。
当$n = 2019$时，$3×2019 + 1=6057 + 1=6058$。
6058
观察规律：$4=3×1 + 1$，$7=3×2 + 1$，$10=3×3 + 1$，$13=3×4 + 1$，
故第$n$个图形中$○$的个数为$3n + 1$。
当$n = 2019$时，$3×2019 + 1=6057 + 1=6058$。
6058
9. 用棋子摆成的“T”字形如图所示,按照图①,图②的规律摆下去,摆成第$n$个“T”字形需要的棋子个数为______。
答案
3n+2
10. 如图所示的图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为______。
答案
57 提示：第②个图形中一共有3+2×2个菱形；第③个图形中一共有4+3×3个菱形；…，按此规律排列下去，所以第⑦个图形中有8+7×7个菱形。
解析
第①个图形：$3=1+1×2$
第②个图形：$7=3+2×2=1+1×2+2×2$
第③个图形：$13=7+3×2=1+1×2+2×2+3×2$
...
第$n$个图形中菱形个数为：$1 + 2×(1 + 2 + 3+\cdots+n)=1 + 2×\frac{n(n + 1)}{2}=n^{2}+n + 1$
当$n = 7$时，$7^{2}+7 + 1=49 + 7 + 1=57$
57
第②个图形：$7=3+2×2=1+1×2+2×2$
第③个图形：$13=7+3×2=1+1×2+2×2+3×2$
...
第$n$个图形中菱形个数为：$1 + 2×(1 + 2 + 3+\cdots+n)=1 + 2×\frac{n(n + 1)}{2}=n^{2}+n + 1$
当$n = 7$时，$7^{2}+7 + 1=49 + 7 + 1=57$
57
11. 将从1开始的自然数按以下规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第7列的数是______。
答案
2019 提示：第n行第一列的数字是n²，45²=2025，即第45行的第一个数是2025，所以第45行第7列的数是2025-6=2019。
