登录
6. 求下列分式的值：
（1）$\frac{11a}{a + 8}$，其中$a = 3$；
（2）$\frac{x - y}{x + y^{2}}$，其中$x = 2$，$y = -1$.
（1）$\frac{11a}{a + 8}$，其中$a = 3$；
（2）$\frac{x - y}{x + y^{2}}$，其中$x = 2$，$y = -1$.
答案
解：(1)当a = 3时，
$\frac{11a}{a + 8} = \frac{11 \times 3}{3 + 8} = \frac{33}{11} = 3$。
(2)当x = 2，y = -1时，
$\frac{x - y}{x + y^2} = \frac{2 - (-1)}{2 + (-1)^2} = \frac{3}{2 + 1} = \frac{3}{3} = 1$。
$\frac{11a}{a + 8} = \frac{11 \times 3}{3 + 8} = \frac{33}{11} = 3$。
(2)当x = 2，y = -1时，
$\frac{x - y}{x + y^2} = \frac{2 - (-1)}{2 + (-1)^2} = \frac{3}{2 + 1} = \frac{3}{3} = 1$。
7. (1)当$x = 1$时，$\frac{1}{x^{2} + 1} =$；
(2)当$x = 2$时，$\frac{1}{x^{2} + 1} =$，当$x = \frac{1}{2}$时，$\frac{1}{x^{2} + 1} =$；
(3)当$x = 3$时，$\frac{1}{x^{2} + 1} =$，当$x = \frac{1}{3}$时，$\frac{1}{x^{2} + 1} =$；
(4)当$x$分别取$2026$，$2025$，$2024$，$···$，$2$，$1$，$0$，$1$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$···$，$\frac{1}{2024}$，$\frac{1}{2025}$，$\frac{1}{2026}$时，计算分式$\frac{1}{x^{2} + 1}$的值，再将所得结果相加，其结果为多少？
(2)当$x = 2$时，$\frac{1}{x^{2} + 1} =$，当$x = \frac{1}{2}$时，$\frac{1}{x^{2} + 1} =$；
(3)当$x = 3$时，$\frac{1}{x^{2} + 1} =$，当$x = \frac{1}{3}$时，$\frac{1}{x^{2} + 1} =$；
(4)当$x$分别取$2026$，$2025$，$2024$，$···$，$2$，$1$，$0$，$1$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$···$，$\frac{1}{2024}$，$\frac{1}{2025}$，$\frac{1}{2026}$时，计算分式$\frac{1}{x^{2} + 1}$的值，再将所得结果相加，其结果为多少？
答案
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{4}{5}$
$\frac{1}{10}$
$\frac{9}{10}$
解：当x取一个非零数a时，分式的值为$\frac {1}{a^2+1}$；
当x取$\frac {1}{a}$时，分式的值为$\frac {1}{(\frac {1}{a})^2+1}=\frac {1}{\frac {1}{a^2}+1}=\frac {a^2}{a^2+1}$。
将这两个值相加：$\frac {1}{a^2+1}+\frac {a^2}{a^2+1}=\frac {1 + a^2}{a^2+1}=1$。
当x分别取2026，2025，2024，···，2，1，0，1，$\frac {1}{2}$，$\frac {1}{3}$，···，$\frac {1}{2024}$，
$\frac {1}{2025}$，$\frac {1}{2026}$时：
对于x = 2026和$x=\frac {1}{2026}$，分式值相加为1；
对于x = 2025和$x=\frac {1}{2025}$，分式值相加为1；
对于x = 2和$x=\frac {1}{2}$，分式值相加为1；
对于x = 1和x = 1，分式值相加为$\frac {1}{1^2+1}+\frac {1}{1^2+1}=\frac {1}{2}+\frac {1}{2}=1$；
当x = 0时，分式的值为$\frac {1}{0^2+1}=1$。
从2到2026共有2026 - 1 = 2025组，每组和为1，
再加上x = 0和x = 1（两个1）时的和，总和为2025 + 1 + 1 = 2027。
因此，所得结果相加的和为2027。
$\frac{1}{5}$
$\frac{4}{5}$
$\frac{1}{10}$
$\frac{9}{10}$
解：当x取一个非零数a时，分式的值为$\frac {1}{a^2+1}$；
当x取$\frac {1}{a}$时，分式的值为$\frac {1}{(\frac {1}{a})^2+1}=\frac {1}{\frac {1}{a^2}+1}=\frac {a^2}{a^2+1}$。
将这两个值相加：$\frac {1}{a^2+1}+\frac {a^2}{a^2+1}=\frac {1 + a^2}{a^2+1}=1$。
当x分别取2026，2025，2024，···，2，1，0，1，$\frac {1}{2}$，$\frac {1}{3}$，···，$\frac {1}{2024}$，
$\frac {1}{2025}$，$\frac {1}{2026}$时：
对于x = 2026和$x=\frac {1}{2026}$，分式值相加为1；
对于x = 2025和$x=\frac {1}{2025}$，分式值相加为1；
对于x = 2和$x=\frac {1}{2}$，分式值相加为1；
对于x = 1和x = 1，分式值相加为$\frac {1}{1^2+1}+\frac {1}{1^2+1}=\frac {1}{2}+\frac {1}{2}=1$；
当x = 0时，分式的值为$\frac {1}{0^2+1}=1$。
从2到2026共有2026 - 1 = 2025组，每组和为1，
再加上x = 0和x = 1（两个1）时的和，总和为2025 + 1 + 1 = 2027。
因此，所得结果相加的和为2027。
