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7. 如图，每个小正方形的边长都相等，$A$，$B$，$C$是小正方形的顶点，则$∠ ABC$的度数为
$45^{\circ }$
。答案
7. $45^{\circ }$
8. 如图，在长方形$ABCD$中，$AB = 3\mathrm{cm}$，$AD = 9\mathrm{cm}$，将此长方形折叠，使点$D$与点$B$重合，折痕为$EF$，则$AE$的长为
4
$\mathrm{cm}$，$BF$的长为5
$\mathrm{cm}$。答案
8. 4 5
9. 【数学应用】如图，小明和小华家中间隔了一栋办公楼，他们想要测量这栋办公楼的高$OM$。已知$AF⊥ OM$于点$F$，$BE⊥ OM$于点$E$。小明在自家阳台$A$处测得他看向办公楼顶部$O$的视线与水平线的夹角$∠ OAF = α$，小华在自家阳台$B$处测得他看向办公楼顶部$O$的视线与水平线的夹角$∠ OBE = β$。若$C$，$M$，$D$三点共线，$α$与$β$互余，且$OA = OB$，$AF = 8\mathrm{m}$，$ME = 3\mathrm{m}$，求办公楼的高$OM$。
答案
9. 解:$\because α$与$β$互余,
$\therefore ∠OAF+∠OBE=90^{\circ }$。
$\because AF⊥OM,BE⊥OM,$
$\therefore ∠AFO=∠OEB=90^{\circ },$
$\therefore ∠OAF+∠AOF=90^{\circ },$
$\therefore ∠AOF=∠OBE$。
在$△AFO$和$△OEB$中,
$\{\begin{array}{l} ∠AFO=∠OEB,\\ ∠AOF=∠OBE,\\ OA=BO,\end{array} $
$\therefore △AFO≌ △OEB(AAS),$
$\therefore OE=AF=8m$。
$\because ME=3m,$
$\therefore OM=OE+EM=8+3=11(m),$
$\therefore$办公楼的高$OM$为$11m$。
$\therefore ∠OAF+∠OBE=90^{\circ }$。
$\because AF⊥OM,BE⊥OM,$
$\therefore ∠AFO=∠OEB=90^{\circ },$
$\therefore ∠OAF+∠AOF=90^{\circ },$
$\therefore ∠AOF=∠OBE$。
在$△AFO$和$△OEB$中,
$\{\begin{array}{l} ∠AFO=∠OEB,\\ ∠AOF=∠OBE,\\ OA=BO,\end{array} $
$\therefore △AFO≌ △OEB(AAS),$
$\therefore OE=AF=8m$。
$\because ME=3m,$
$\therefore OM=OE+EM=8+3=11(m),$
$\therefore$办公楼的高$OM$为$11m$。
10. 【项目式学习】
答案
10. 解:任务一:$\frac{4}{9}$
任务二:设$DF=xcm,$
在$Rt△DEF$中,$∠DFE=90^{\circ },EF=2cm,$
又$\because △DEF$的周长为$8cm,$
$\therefore DE=8-2-x=(6-x)(cm)$。
由勾股定理得$EF^{2}+DF^{2}=DE^{2},$
即$2^{2}+x^{2}=(6-x)^{2},$
解得$x=\frac{8}{3},$
即$DF=\frac{8}{3}cm,$
$\therefore DE=6-x=\frac{10}{3}(cm),$
$\therefore S_{2}=DF^{2}=(\frac{8}{3})^{2}=\frac{64}{9}(cm^{2}),$
$S_{3}=DE^{2}=(\frac{10}{3})^{2}=\frac{100}{9}(cm^{2}),$
$\therefore S_{2}+S_{3}=\frac{64}{9}+\frac{100}{9}=\frac{164}{9}(cm^{2})$。
任务三:$\frac{932}{49}$
提示:过点$G$作$GT⊥HI$交$HI$的延长线于$T$,如图所示。
项目总结:钝角
