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1. 下列能断定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A= 30°,∠B= 60°
B.AB= AC= 2,BC= 4
C.∠A= 50°,∠B= 80°
D.AB= 3,BC= 7,周长为13
A.∠A= 30°,∠B= 60°
B.AB= AC= 2,BC= 4
C.∠A= 50°,∠B= 80°
D.AB= 3,BC= 7,周长为13
答案
C
解析
A.三个角度分别为30°, 60°, 90°，没有两个相等的角，因此不是等腰三角形，选项错误。
B.根据三角形两边之和大于第三边的性质，AB=AC=2，BC=4，不满足条件，因为2 + 2 = 4，不能构成三角形，选项错误。
C.角度∠A=50°，∠B=80°，则∠C=180° - 50° - 80° = 50°，∠A和∠C相等，因此是等腰三角形，选项正确。
D.周长为13，已知AB=3，BC=7，则AC=13-3-7=3，根据三角形两边之和大于第三边的性质，3 + 3 ＜ 7，不能构成三角形，选项错误。
B.根据三角形两边之和大于第三边的性质，AB=AC=2，BC=4，不满足条件，因为2 + 2 = 4，不能构成三角形，选项错误。
C.角度∠A=50°，∠B=80°，则∠C=180° - 50° - 80° = 50°，∠A和∠C相等，因此是等腰三角形，选项正确。
D.周长为13，已知AB=3，BC=7，则AC=13-3-7=3，根据三角形两边之和大于第三边的性质，3 + 3 ＜ 7，不能构成三角形，选项错误。
2. 如图,已知OC平分∠AOB,CD//OB,若OD= 3,则CD的长度为( )
A.3
B.4
C.1.5
D.2
A.3
B.4
C.1.5
D.2
答案
A
解析
因为OC平分∠AOB，所以∠DOC=∠BOC。又因为CD//OB，根据平行线的性质，∠DCO=∠BOC。所以∠DOC=∠DCO，即△DCO为等腰三角形，所以CD=OD=3。
3. 如图,在△ABC中,BC= 24,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD//AB,PE//AC,则△PDE的周长为________.
答案
24
解析
∵PD//AB，∴∠ABP=∠BPD（两直线平行，内错角相等）。
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBD，∴∠PBD=∠BPD，∴PD=BD（等角对等边）。
同理，PE//AC，∠ACP=∠CPE（两直线平行，内错角相等）。
∵CP平分∠ACB，∴∠ACP=∠PCE，∴∠PCE=∠CPE，∴PE=CE（等角对等边）。
△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+CE=BC=24。
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBD，∴∠PBD=∠BPD，∴PD=BD（等角对等边）。
同理，PE//AC，∠ACP=∠CPE（两直线平行，内错角相等）。
∵CP平分∠ACB，∴∠ACP=∠PCE，∴∠PCE=∠CPE，∴PE=CE（等角对等边）。
△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+CE=BC=24。
4. 如图,在△ABC中,点D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE= DF.求证:△ABC为等腰三角形.
答案
证明：
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\{\begin{array}{l} BD=CD,\\ DE=DF,\end{array} $
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。
∴∠B=∠C。
∴AB=AC。
即△ABC为等腰三角形。
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\{\begin{array}{l} BD=CD,\\ DE=DF,\end{array} $
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。
∴∠B=∠C。
∴AB=AC。
即△ABC为等腰三角形。
