登录
1. 要使矩形 ABCD 成为正方形，可添加的条件是(写一个即可).
答案
$AB = BC$（答案不唯一）。
解析
根据正方形的判定定理，邻边相等的矩形是正方形，或者对角线互相垂直的矩形是正方形。所以可以添加的条件是矩形的一组邻边相等，或者矩形的对角线互相垂直，写出其中一个即可。
2. 有下列四个条件：① AB = BC，② ∠ABC = 90°，③ AC = BD，④ AC ⊥ BD. 从中选取两个作为补充条件，使 □ABCD 为正方形(如图). 现在文文选择了②③，你认为文文的选择(填“对”或“不对”).
答案
① 若补充条件①②：
由① $AB = BC$，知平行四边形$ABCD$的邻边相等，则$ABCD$为菱形。
由② $∠ ABC = 90°$，知菱形$ABCD$的一个角为$90°$，则$ABCD$为正方形。
② 若补充条件②③：
由② $∠ ABC = 90°$，知平行四边形$ABCD$的一个角为$90°$，则$ABCD$为矩形。
由③ $AC = BD$，知矩形$ABCD$的对角线相等，但这并不能保证$ABCD$为正方形，因为它已经是矩形，对角线相等是矩形的性质。
③ 若补充条件③④：
由③ $AC = BD$，知平行四边形$ABCD$的对角线相等，则$ABCD$为矩形。
由④ $AC ⊥ BD$，知矩形$ABCD$的对角线互相垂直，则$ABCD$为正方形。
④ 若补充条件①④：
由① $AB = BC$，知平行四边形$ABCD$的邻边相等，则$ABCD$为菱形。
由④ $AC ⊥ BD$，知菱形$ABCD$的对角线互相垂直，但这是菱形已有的性质，并不能直接得出$ABCD$为正方形。然而，由于菱形的对角线互相垂直且平分，若在菱形中邻边相等（即已经是菱形）且对角线垂直（菱形性质），结合菱形的性质，我们可以知道这样的菱形实际上所有边都相等且所有角都是$90°$（因为对角线的垂直平分性质会导致菱形被划分成四个全等的直角三角形），从而得出$ABCD$为正方形。但更直接的推理是：邻边相等的菱形且对角线垂直（在这里实际上是冗余的，因为菱形对角线已经垂直）更核心的是，由于菱形已经邻边相等，若再加上一个角为$90°$的条件（虽然这里是通过对角线的垂直性间接给出的，但在此特定情况下，由于菱形的对角线垂直且平分，可以直接推出所有角都是$90°$），则可以确定为正方形。但为严谨起见，通常我们直接说邻边相等的菱形是正方形的一个充分条件（实际上还需要所有角都是$90°$，但在这里由菱形的性质和对角线的垂直性可以推出）。不过，更简洁的推理是：在菱形中，如果有一条对角线可以看作是另一条对角线的垂直平分线（即对角线垂直），并且菱形的一组邻边相等（菱形性质），则这个菱形就是正方形。因此，条件①④也可以推出平行四边形$ABCD$为正方形。
文文的选择：②③
由上面的分析，我们知道②③只能推出平行四边形$ABCD$为矩形，但不能确定它是正方形。
故答案为：不对。
由① $AB = BC$，知平行四边形$ABCD$的邻边相等，则$ABCD$为菱形。
由② $∠ ABC = 90°$，知菱形$ABCD$的一个角为$90°$，则$ABCD$为正方形。
② 若补充条件②③：
由② $∠ ABC = 90°$，知平行四边形$ABCD$的一个角为$90°$，则$ABCD$为矩形。
由③ $AC = BD$，知矩形$ABCD$的对角线相等，但这并不能保证$ABCD$为正方形，因为它已经是矩形，对角线相等是矩形的性质。
③ 若补充条件③④：
由③ $AC = BD$，知平行四边形$ABCD$的对角线相等，则$ABCD$为矩形。
由④ $AC ⊥ BD$，知矩形$ABCD$的对角线互相垂直，则$ABCD$为正方形。
④ 若补充条件①④：
由① $AB = BC$，知平行四边形$ABCD$的邻边相等，则$ABCD$为菱形。
由④ $AC ⊥ BD$，知菱形$ABCD$的对角线互相垂直，但这是菱形已有的性质，并不能直接得出$ABCD$为正方形。然而，由于菱形的对角线互相垂直且平分，若在菱形中邻边相等（即已经是菱形）且对角线垂直（菱形性质），结合菱形的性质，我们可以知道这样的菱形实际上所有边都相等且所有角都是$90°$（因为对角线的垂直平分性质会导致菱形被划分成四个全等的直角三角形），从而得出$ABCD$为正方形。但更直接的推理是：邻边相等的菱形且对角线垂直（在这里实际上是冗余的，因为菱形对角线已经垂直）更核心的是，由于菱形已经邻边相等，若再加上一个角为$90°$的条件（虽然这里是通过对角线的垂直性间接给出的，但在此特定情况下，由于菱形的对角线垂直且平分，可以直接推出所有角都是$90°$），则可以确定为正方形。但为严谨起见，通常我们直接说邻边相等的菱形是正方形的一个充分条件（实际上还需要所有角都是$90°$，但在这里由菱形的性质和对角线的垂直性可以推出）。不过，更简洁的推理是：在菱形中，如果有一条对角线可以看作是另一条对角线的垂直平分线（即对角线垂直），并且菱形的一组邻边相等（菱形性质），则这个菱形就是正方形。因此，条件①④也可以推出平行四边形$ABCD$为正方形。
文文的选择：②③
由上面的分析，我们知道②③只能推出平行四边形$ABCD$为矩形，但不能确定它是正方形。
故答案为：不对。
3. 用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，当活动学具成为图①所示菱形时，测得 ∠B = 60°，对角线 AC = 5. 若使活动学具成为图②所示正方形，则对角线 AC 的长为.
答案
5√2
解析
设木条长度为a，即菱形边长为a。在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=BC，故△ABC为等边三角形，所以AC=AB=a=5。当学具为正方形时，边长仍为5，根据正方形对角线公式，对角线AC=5√2。
4. 提升题 如图，四边形 ABCD 是正方形，AB = 3，E 为对角线 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥ DE，交射线 BC 于点 F，以 DE，EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG.
(1) AC 的长为，∠ACB =.
(2) 当点 F 在线段 BC 的延长线上时：
① 求证：矩形 DEFG 是正方形；
② 若 CG = $2\sqrt{2}$，求 DE 的长.
(1) AC 的长为，∠ACB =.
(2) 当点 F 在线段 BC 的延长线上时：
① 求证：矩形 DEFG 是正方形；
② 若 CG = $2\sqrt{2}$，求 DE 的长.
答案
(1) $3\sqrt{2}$，$45^{\circ}$；(2) ① 见证明；② $\sqrt{5}$。
解析
(1) $3\sqrt{2}$；$45^{\circ}$
(2) ① 过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N。
∵ 四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴ ∠ACB=∠ACD=45°，EM=EN，∠EMC=∠ENC=90°，
∴ 四边形EMCN是矩形，又EM=EN，故四边形EMCN是正方形，∠MEN=90°。
∵ EF⊥DE，∴ ∠DEF=90°，∴ ∠DEN+∠NEF=∠FEM+∠NEF=90°，
∴ ∠DEN=∠FEM。
在△DEN和△FEM中，$\begin{cases} ∠DEN=∠FEM \\ EN=EM \\ ∠END=∠EMF=90^{\circ} \end{cases}$，
∴ △DEN≌△FEM(ASA)，∴ DE=EF。
∵ 四边形DEFG是矩形，且DE=EF，∴ 矩形DEFG是正方形。
② 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)，D(0,3)，AC：y=x。设E(t,t)，F在射线BC上，BC：x=3，设F(3,2t)（由①中全等及坐标关系得）。
∵ DEFG是正方形，∴ G=D+EF=(0+3-t,3+t)=(3-t,3+t)。
CG=$\sqrt{(3-t-3)^2+(3+t-3)^2}=\sqrt{t^2+t^2}=t\sqrt{2}$，
∵ CG=$2\sqrt{2}$，∴ $t\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，t=2。
DE=$\sqrt{t^2+(t-3)^2}=\sqrt{2^2+(2-3)^2}=\sqrt{5}$。
(2) ① 过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N。
∵ 四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴ ∠ACB=∠ACD=45°，EM=EN，∠EMC=∠ENC=90°，
∴ 四边形EMCN是矩形，又EM=EN，故四边形EMCN是正方形，∠MEN=90°。
∵ EF⊥DE，∴ ∠DEF=90°，∴ ∠DEN+∠NEF=∠FEM+∠NEF=90°，
∴ ∠DEN=∠FEM。
在△DEN和△FEM中，$\begin{cases} ∠DEN=∠FEM \\ EN=EM \\ ∠END=∠EMF=90^{\circ} \end{cases}$，
∴ △DEN≌△FEM(ASA)，∴ DE=EF。
∵ 四边形DEFG是矩形，且DE=EF，∴ 矩形DEFG是正方形。
② 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)，D(0,3)，AC：y=x。设E(t,t)，F在射线BC上，BC：x=3，设F(3,2t)（由①中全等及坐标关系得）。
∵ DEFG是正方形，∴ G=D+EF=(0+3-t,3+t)=(3-t,3+t)。
CG=$\sqrt{(3-t-3)^2+(3+t-3)^2}=\sqrt{t^2+t^2}=t\sqrt{2}$，
∵ CG=$2\sqrt{2}$，∴ $t\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，t=2。
DE=$\sqrt{t^2+(t-3)^2}=\sqrt{2^2+(2-3)^2}=\sqrt{5}$。
