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1. 已知一次函数 $ y = 2x + 1 $ 与 $ y = kx $($ k $ 是常数，$ k ≠ 0 $)的图象的交点坐标是 $ (1,3) $，则方程组 $ \begin{cases}2x - y = -1, \\ kx - y = 0\end{cases}$ 的解是 ______ .
答案
$\begin{cases}x=1 \\ y=3\end{cases}$
解析
因为一次函数$y = 2x + 1$与$y = kx$的图象交点坐标是$(1,3)$，而方程组$\begin{cases}2x - y = -1 \\ kx - y = 0\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y = 2x + 1 \\ y = kx\end{cases}$，所以方程组的解就是两函数图象交点的坐标，即$\begin{cases}x = 1 \\ y = 3\end{cases}$。
2. 已知二元一次方程组 $ \begin{cases}ax - y = -b, \\ kx - y = 0\end{cases}$ 的解为 $ \begin{cases}x = -3, \\ y = 1,\end{cases}$ 则函数 $ y = ax + b $ 和 $ y = kx $ 的图象的交点坐标为 ______ .
答案
$(-3,1)$
解析
已知二元一次方程组$\begin{cases}ax - y = -b\\kx - y = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -3\\y = 1\end{cases}$。
因为一次函数图象交点坐标就是由两个函数表达式所组成的方程组的解对应的$x$、$y$的值。
方程组$\begin{cases}y=ax + b\\y = kx\end{cases}$的解与方程组$\begin{cases}ax - y = -b\\kx - y = 0\end{cases}$的解相同，所以函数$y = ax + b$和$y = kx$的图象的交点坐标就是方程组$\begin{cases}ax - y = -b\\kx - y = 0\end{cases}$的解$\begin{cases}x = -3\\y = 1\end{cases}$对应的坐标$(-3,1)$。
因为一次函数图象交点坐标就是由两个函数表达式所组成的方程组的解对应的$x$、$y$的值。
方程组$\begin{cases}y=ax + b\\y = kx\end{cases}$的解与方程组$\begin{cases}ax - y = -b\\kx - y = 0\end{cases}$的解相同，所以函数$y = ax + b$和$y = kx$的图象的交点坐标就是方程组$\begin{cases}ax - y = -b\\kx - y = 0\end{cases}$的解$\begin{cases}x = -3\\y = 1\end{cases}$对应的坐标$(-3,1)$。
3. 如图，若直线 $ l_1: y = x + 1 $ 与直线 $ l_2: y = kx + b $ 相交于点 $ P(1,m) $，则关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $ \begin{cases}y = x + 1, \\ y = kx + b\end{cases}$ 的解为 ______ .
答案
$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
解析
因为点 $ P(1,m) $ 在直线 $ l_1: y = x + 1 $ 上，所以将 $ x = 1 $ 代入 $ y = x + 1 $，得 $ m = 1 + 1 = 2 $，即点 $ P $ 的坐标为 $ (1,2) $。由于两直线的交点坐标就是相应方程组的解，所以方程组 $ \begin{cases}y = x + 1 \\ y = kx + b\end{cases} $ 的解为 $ \begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases} $。
4. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，若直线 $ y = kx + b $ 经过 $ A(-1,-2) $，$ B(-3,0) $ 和 $ C(0,-3) $ 三点，则不等式 $ 2x ＜ kx + b ＜ 0 $ 的解集是.
答案
$-3＜x＜-1$（或填写为$x$取值范围介于$-3$与$-1$之间）
解析
因为直线 $y = kx + b$ 经过 $A(-1, -2)$ 和 $B(-3, 0)$，
代入点 $A$ 的坐标：$-2 = -k + b$，
代入点 $B$ 的坐标：$0 = -3k + b$，
解方程组：
$\begin{cases}-k + b = -2, \\-3k + b = 0.\end{cases}$
第二个方程减去第一个方程：
$-2k = 2 \implies k = -1$，
代入 $k = -1$ 到 $-k + b = -2$：
$1 + b = -2 \implies b = -3$，
所以直线方程为：
$y = -x - 3$，
考虑不等式 $2x ＜ kx + b ＜ 0$，即：
$2x ＜ -x - 3 ＜ 0$，
分解为两个不等式：
$2x ＜ -x - 3 \quad \mathrm{和} \quad -x - 3 ＜ 0$，
解第一个不等式：
$2x + x ＜ -3 \implies 3x ＜ -3 \implies x ＜ -1$，
解第二个不等式：
$-x - 3 ＜ 0 \implies -x ＜ 3 \implies x ＞ -3$，
综合两个不等式的解集：
$-3 ＜ x ＜ -1$。
代入点 $A$ 的坐标：$-2 = -k + b$，
代入点 $B$ 的坐标：$0 = -3k + b$，
解方程组：
$\begin{cases}-k + b = -2, \\-3k + b = 0.\end{cases}$
第二个方程减去第一个方程：
$-2k = 2 \implies k = -1$，
代入 $k = -1$ 到 $-k + b = -2$：
$1 + b = -2 \implies b = -3$，
所以直线方程为：
$y = -x - 3$，
考虑不等式 $2x ＜ kx + b ＜ 0$，即：
$2x ＜ -x - 3 ＜ 0$，
分解为两个不等式：
$2x ＜ -x - 3 \quad \mathrm{和} \quad -x - 3 ＜ 0$，
解第一个不等式：
$2x + x ＜ -3 \implies 3x ＜ -3 \implies x ＜ -1$，
解第二个不等式：
$-x - 3 ＜ 0 \implies -x ＜ 3 \implies x ＞ -3$，
综合两个不等式的解集：
$-3 ＜ x ＜ -1$。
5. 提升题 如图，已知函数 $ y_1 = 2x + b $ 和 $ y_2 = ax - 3 $ 的图象交于点 $ P(-2,-5) $，这两个函数的图象与 $ x $ 轴分别交于点 $ A $，$ B $.
(1) 根据图象，可以直接写出方程组 $ \begin{cases}y_1 = 2x + b, \\ y_2 = ax - 3\end{cases}$ 的解为 ______ ；
(2) 根据图象直接写出不等式 $ 2x + b ＞ ax - 3 $ 的解集为；
(3) 求 $ △ ABP $ 的面积.
(1) 根据图象，可以直接写出方程组 $ \begin{cases}y_1 = 2x + b, \\ y_2 = ax - 3\end{cases}$ 的解为 ______ ；
(2) 根据图象直接写出不等式 $ 2x + b ＞ ax - 3 $ 的解集为；
(3) 求 $ △ ABP $ 的面积.
答案
(1) 方程组的解为 $ \begin{cases} x = -2, \\ y = -5 \end{cases} $。
(2)不等式 $ 2x + b ＞ ax - 3 $ 的解集为 $ x ＞ -2 $。
(3)
将 $ P(-2, -5) $ 代入 $ y_1 = 2x + b $，得：
$-5 = 2×(-2) + b \implies b = -1$，
将 $ P(-2, -5) $ 代入 $ y_2 = ax - 3 $，得：
$-5 = a×(-2) - 3 \implies a = 1$，
所以$ y_1 = 2x - 1, \quad y_2 = x - 3$，
求与 $ x $ 轴交点：
对于 $ y_1 = 2x - 1 $，令 $ y = 0 $，得 $ x = \frac{1}{2} $，即 $ A(\frac{1}{2}, 0) $。
对于 $ y_2 = x - 3 $，令 $ y = 0 $，得 $ x = 3 $，即 $ B(3, 0) $。
三角形 $ △ABP $ 的面积为：
$\mathrm{面积} = \frac{1}{2} × \mathrm{底} × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × (3 - \frac{1}{2}) × 5 = \frac{25}{4}$，
故三角形 $ △ABP $ 的面积为 $ \frac{25}{4} $。
(2)不等式 $ 2x + b ＞ ax - 3 $ 的解集为 $ x ＞ -2 $。
(3)
将 $ P(-2, -5) $ 代入 $ y_1 = 2x + b $，得：
$-5 = 2×(-2) + b \implies b = -1$，
将 $ P(-2, -5) $ 代入 $ y_2 = ax - 3 $，得：
$-5 = a×(-2) - 3 \implies a = 1$，
所以$ y_1 = 2x - 1, \quad y_2 = x - 3$，
求与 $ x $ 轴交点：
对于 $ y_1 = 2x - 1 $，令 $ y = 0 $，得 $ x = \frac{1}{2} $，即 $ A(\frac{1}{2}, 0) $。
对于 $ y_2 = x - 3 $，令 $ y = 0 $，得 $ x = 3 $，即 $ B(3, 0) $。
三角形 $ △ABP $ 的面积为：
$\mathrm{面积} = \frac{1}{2} × \mathrm{底} × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × (3 - \frac{1}{2}) × 5 = \frac{25}{4}$，
故三角形 $ △ABP $ 的面积为 $ \frac{25}{4} $。
