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【典例3】如果分式$\frac{|x| - 1}{x + 1}$的值为$0$，那么$x$的值为()
A.$-1$或$1$
B.$1$
C.$-1$
D.$1$或$0$
解析：根据题意，得$|x| - 1 = 0$且$x + 1 ≠ 0$，解得$x = 1$。
A.$-1$或$1$
B.$1$
C.$-1$
D.$1$或$0$
解析：根据题意，得$|x| - 1 = 0$且$x + 1 ≠ 0$，解得$x = 1$。
答案
B
解析
要使分式$\frac{|x| - 1}{x + 1}$的值为0，需满足分子为0且分母不为0。即$\{\begin{array}{l}|x| - 1 = 0\\x + 1 ≠ 0\end{array} $，由$|x| - 1 = 0$得$x = ±1$，由$x + 1 ≠ 0$得$x ≠ -1$，综上$x = 1$。
【对点训练】
3. 若分式$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$的值为$0$，则$x$的值为()
A.$0$
B.$1$
C.$-1$
D.$\pm 1$
3. 若分式$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$的值为$0$，则$x$的值为()
A.$0$
B.$1$
C.$-1$
D.$\pm 1$
答案
C
解析
要使分式$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$的值为$0$，需满足分子为$0$且分母不为$0$。
由分子$x^2 - 1 = 0$，解得$x = \pm 1$。
由分母$x - 1 ≠ 0$，得$x ≠ 1$。
综上，$x = -1$。
由分子$x^2 - 1 = 0$，解得$x = \pm 1$。
由分母$x - 1 ≠ 0$，得$x ≠ 1$。
综上，$x = -1$。
1. 在代数式$\frac{2}{π}$，$\frac{1 + x}{5}$，$\frac{2x - 1}{x^2}$，$\frac{3}{x - 3}$中，分式有()
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
B
解析
判断分式的依据是看分母中是否含有字母。$\frac{2}{π}$的分母是常数π，不是字母，不是分式；$\frac{1 + x}{5}$的分母是常数5，不是字母，不是分式；$\frac{2x - 1}{x^2}$的分母含有字母x，是分式；$\frac{3}{x - 3}$的分母含有字母x，是分式。所以分式有2个。
2. 下列各式中，不论$x$取何值分式都有意义的是()
A.$\frac{1}{2x^2 + 1}$
B.$\frac{1}{2x + 1}$
C.$\frac{1}{3x - 1}$
D.$\frac{1}{2x^2}$
A.$\frac{1}{2x^2 + 1}$
B.$\frac{1}{2x + 1}$
C.$\frac{1}{3x - 1}$
D.$\frac{1}{2x^2}$
答案
A
解析
要使分式有意义，则分母不能为0。
对于选项A，分母为$2x^{2}+1$，因为$x^{2}≥0$，所以$2x^{2}+1≥1$，无论$x$取何值，$2x^{2}+1≠0$，该分式有意义。
对于选项B，当$2x + 1 = 0$，即$x =-\frac{1}{2}$时，分母为0，分式无意义。
对于选项C，当$3x - 1 = 0$，即$x=\frac{1}{3}$时，分母为0，分式无意义。
对于选项D，当$2x^{2}=0$，即$x = 0$时，分母为0，分式无意义。
对于选项A，分母为$2x^{2}+1$，因为$x^{2}≥0$，所以$2x^{2}+1≥1$，无论$x$取何值，$2x^{2}+1≠0$，该分式有意义。
对于选项B，当$2x + 1 = 0$，即$x =-\frac{1}{2}$时，分母为0，分式无意义。
对于选项C，当$3x - 1 = 0$，即$x=\frac{1}{3}$时，分母为0，分式无意义。
对于选项D，当$2x^{2}=0$，即$x = 0$时，分母为0，分式无意义。
3. 若分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$的值为$0$，则$x$的值为()
A.$3$
B.$3$或$-3$
C.$-3$
D.$0$
A.$3$
B.$3$或$-3$
C.$-3$
D.$0$
答案
A
解析
要使分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$的值为$0$，则分子为$0$且分母不为$0$。
1. 分子$x^2 - 9 = 0$，解得$x = 3$或$x = -3$。
2. 分母$x + 3 ≠ 0$，即$x ≠ -3$。
综上，$x = 3$。
4. 当$x$时，分式$\frac{1}{-x + 5}$的值为正；当$x$时，分式$\frac{-4}{x^2 + 1}$的值为负。
答案
$x ＜ 5$；$x$为任意实数
解析
1. 对于分式$\frac{1}{-x + 5}$，要使其值为正，则分母$-x + 5＞0$，解不等式$-x + 5＞0$，移项可得$-x＞-5$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得$x ＜ 5$。
2. 对于分式$\frac{-4}{x^{2}+1}$，因为$x^{2}≥0$，所以$x^{2}+1≥1＞0$，又分子$-4＜0$，那么$\frac{-4}{x^{2}+1}$恒为负，所以$x$为任意实数时该分式值为负。
2. 对于分式$\frac{-4}{x^{2}+1}$，因为$x^{2}≥0$，所以$x^{2}+1≥1＞0$，又分子$-4＜0$，那么$\frac{-4}{x^{2}+1}$恒为负，所以$x$为任意实数时该分式值为负。
5. 若分式$\frac{|x| - 5}{2x + 10}$的值为$0$，则$x$的值为。
答案
5
解析
要使分式$\frac{|x| - 5}{2x + 10}$的值为$0$，需满足：
1. 分子$|x| - 5 = 0$，即$|x| = 5$，解得$x = 5$或$x = -5$。
2. 分母$2x + 10 ≠ 0$，即$x ≠ -5$。
综合以上条件，$x = 5$。
1. 分子$|x| - 5 = 0$，即$|x| = 5$，解得$x = 5$或$x = -5$。
2. 分母$2x + 10 ≠ 0$，即$x ≠ -5$。
综合以上条件，$x = 5$。
6. 若$a$、$b$为实数，且$\frac{(a - 4)^2 + |b^2 - 9|}{b + 3} = 0$，求$2a + 3b$的值。
答案
答题卡答：
∵ $\frac{(a - 4)^2 + |b^2 - 9|}{b + 3} = 0$，
∴ $(a - 4)^2 + |b^2 - 9| = 0$ 且 $b + 3 ≠ 0$。
因为$(a - 4)^2 ≥ 0$，$|b^2 - 9| ≥ 0$，
所以$a - 4 = 0$，$b^2 - 9 = 0$，
解得$a = 4$，$b = \pm 3$。
又因为$b + 3 ≠ 0$，所以$b ≠ -3$，
因此$b = 3$。
当$a = 4$，$b = 3$时，
$2a + 3b = 2 × 4 + 3 × 3 = 8 + 9 = 17$。
故$2a + 3b$的值为$17$。
∵ $\frac{(a - 4)^2 + |b^2 - 9|}{b + 3} = 0$，
∴ $(a - 4)^2 + |b^2 - 9| = 0$ 且 $b + 3 ≠ 0$。
因为$(a - 4)^2 ≥ 0$，$|b^2 - 9| ≥ 0$，
所以$a - 4 = 0$，$b^2 - 9 = 0$，
解得$a = 4$，$b = \pm 3$。
又因为$b + 3 ≠ 0$，所以$b ≠ -3$，
因此$b = 3$。
当$a = 4$，$b = 3$时，
$2a + 3b = 2 × 4 + 3 × 3 = 8 + 9 = 17$。
故$2a + 3b$的值为$17$。
7. (运算能力)已知$x = -4$时，分式$\frac{x - b}{2x + a}$无意义，$x = 2$时，此分式的值为$0$，求分式$\frac{a + b}{a - 3b}$的值。
答案
5
解析
1. 当分式无意义时，分母为0。将$x = -4$代入分母$2x + a$，得$2×(-4) + a = 0$，解得$a = 8$。
2. 当分式值为0时，分子为0且分母不为0。将$x = 2$代入分子$x - b$，得$2 - b = 0$，解得$b = 2$。此时分母$2×2 + 8 = 12 ≠ 0$，符合条件。
3. 将$a = 8$，$b = 2$代入$\frac{a + b}{a - 3b}$，得$\frac{8 + 2}{8 - 3×2} = \frac{10}{2} = 5$。
2. 当分式值为0时，分子为0且分母不为0。将$x = 2$代入分子$x - b$，得$2 - b = 0$，解得$b = 2$。此时分母$2×2 + 8 = 12 ≠ 0$，符合条件。
3. 将$a = 8$，$b = 2$代入$\frac{a + b}{a - 3b}$，得$\frac{8 + 2}{8 - 3×2} = \frac{10}{2} = 5$。
